Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16592 / 50015
↖ ↑ ↗
← N 39.166271°
W134.428711°		 ← 236.80 m → N 39.166271°
W134.425964°		 →
↑
236.81 m
↓
↑
236.81 m
↓
N 39.164141°
W134.428711°		 ← 236.81 m →
56 078 m²		 N 39.164141°
W134.425964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126590728759766 y=0.381587982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126590728759766 × 217)
    floor (0.126590728759766 × 131072)
    floor (16592.5)     		tx = 16592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381587982177734 × 217)
    floor (0.381587982177734 × 131072)
    floor (50015.5)     		ty = 50015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16592 / 50015 ti = "17/16592/50015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16592/50015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16592 ÷ 217
    16592 ÷ 131072     		x = 0.1265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50015 ÷ 217
    50015 ÷ 131072     		y = 0.381584167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34622362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381584167480469 × 2 - 1) × π
    0.236831665039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.744028619002892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34622362} λ = -2.34622362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744028619002892))-π/2
    2×atan(2.10439627127666)-π/2
    2×1.1271883518021-π/2
    2.25437670360421-1.57079632675     		φ = 0.68358038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34622362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68358038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.166271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16592 KachelY 50015 -2.34622362 0.68358038 -134.428711 39.166271
    Oben rechts KachelX + 1 16593 KachelY 50015 -2.34617568 0.68358038 -134.425964 39.166271
    Unten links KachelX 16592 KachelY + 1 50016 -2.34622362 0.68354321 -134.428711 39.164141
    Unten rechts KachelX + 1 16593 KachelY + 1 50016 -2.34617568 0.68354321 -134.425964 39.164141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68358038-0.68354321) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dl = 236.810070000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68358038-0.68354321) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dr = 236.810070000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34622362--2.34617568) × cos(0.68358038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775316421699538 × 6371000     		do = 236.801591831578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34622362--2.34617568) × cos(0.68354321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775339896732112 × 6371000     		du = 236.808761710774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68358038)-sin(0.68354321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775316421699538-0.775339896732112)×R²
    abs(-2.34617568--2.34622362)×2.34750325747157e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34750325747157e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34750325747157e-05×40589641000000     		ar = 56077.8504939885m²