Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16592 / 49999
↖ ↑ ↗
← N 39.200334°
W134.428711°		 ← 236.69 m → N 39.200334°
W134.425964°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
N 39.198205°
W134.428711°		 ← 236.69 m →
56 021 m²		 N 39.198205°
W134.425964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126590728759766 y=0.381465911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126590728759766 × 217)
    floor (0.126590728759766 × 131072)
    floor (16592.5)     		tx = 16592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381465911865234 × 217)
    floor (0.381465911865234 × 131072)
    floor (49999.5)     		ty = 49999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16592 / 49999 ti = "17/16592/49999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16592/49999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16592 ÷ 217
    16592 ÷ 131072     		x = 0.1265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49999 ÷ 217
    49999 ÷ 131072     		y = 0.381462097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34622362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381462097167969 × 2 - 1) × π
    0.237075805664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.744795609396812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34622362} λ = -2.34622362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744795609396812))-π/2
    2×atan(2.1060109421411)-π/2
    2×1.12748560990593-π/2
    2.25497121981186-1.57079632675     		φ = 0.68417489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34622362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68417489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.200334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16592 KachelY 49999 -2.34622362 0.68417489 -134.428711 39.200334
    Oben rechts KachelX + 1 16593 KachelY 49999 -2.34617568 0.68417489 -134.425964 39.200334
    Unten links KachelX 16592 KachelY + 1 50000 -2.34622362 0.68413774 -134.428711 39.198205
    Unten rechts KachelX + 1 16593 KachelY + 1 50000 -2.34617568 0.68413774 -134.425964 39.198205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68417489-0.68413774) × R
    3.71499999999303e-05 × 6371000     		dl = 236.682649999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68417489-0.68413774) × R
    3.71499999999303e-05 × 6371000     		dr = 236.682649999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34622362--2.34617568) × cos(0.68417489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774940808246488 × 6371000     		do = 236.686869814726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34622362--2.34617568) × cos(0.68413774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774964287767965 × 6371000     		du = 236.694041064948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68417489)-sin(0.68413774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774940808246488-0.774964287767965)×R²
    abs(-2.34617568--2.34622362)×2.34795214771877e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34795214771877e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34795214771877e-05×40589641000000     		ar = 56020.5242296601m²