Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16592 / 16785
↖ ↑ ↗
← N 78.962450°
W134.428711°		 ← 58.47 m → N 78.962450°
W134.425964°		 →
↑
58.49 m
↓
↑
58.49 m
↓
N 78.961924°
W134.428711°		 ← 58.48 m →
3 420 m²		 N 78.961924°
W134.425964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126590728759766 y=0.128063201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126590728759766 × 217)
    floor (0.126590728759766 × 131072)
    floor (16592.5)     		tx = 16592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128063201904297 × 217)
    floor (0.128063201904297 × 131072)
    floor (16785.5)     		ty = 16785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16592 / 16785 ti = "17/16592/16785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16592/16785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16592 ÷ 217
    16592 ÷ 131072     		x = 0.1265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16785 ÷ 217
    16785 ÷ 131072     		y = 0.128059387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34622362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128059387207031 × 2 - 1) × π
    0.743881225585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.33697179337736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34622362} λ = -2.34622362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33697179337736))-π/2
    2×atan(10.3498475835652)-π/2
    2×1.4744755343918-π/2
    2.94895106878361-1.57079632675     		φ = 1.37815474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34622362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37815474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.962450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16592 KachelY 16785 -2.34622362 1.37815474 -134.428711 78.962450
    Oben rechts KachelX + 1 16593 KachelY 16785 -2.34617568 1.37815474 -134.425964 78.962450
    Unten links KachelX 16592 KachelY + 1 16786 -2.34622362 1.37814556 -134.428711 78.961924
    Unten rechts KachelX + 1 16593 KachelY + 1 16786 -2.34617568 1.37814556 -134.425964 78.961924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37815474-1.37814556) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dl = 58.4857799996306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37815474-1.37814556) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dr = 58.4857799996306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34622362--2.34617568) × cos(1.37815474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191452282453161 × 6371000     		do = 58.4744550429073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34622362--2.34617568) × cos(1.37814556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191461292632741 × 6371000     		du = 58.477206983673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37815474)-sin(1.37814556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191452282453161-0.191461292632741)×R²
    abs(-2.34617568--2.34622362)×9.0101795797437e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.0101795797437e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.0101795797437e-06×40589641000000     		ar = 3420.00458800784m²