Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16591 / 15663
↖ ↑ ↗
← N 79.537130°
W134.431457°		 ← 55.45 m → N 79.537130°
W134.428711°		 →
↑
55.43 m
↓
↑
55.43 m
↓
N 79.536631°
W134.431457°		 ← 55.46 m →
3 074 m²		 N 79.536631°
W134.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126583099365234 y=0.119503021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126583099365234 × 217)
    floor (0.126583099365234 × 131072)
    floor (16591.5)     		tx = 16591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119503021240234 × 217)
    floor (0.119503021240234 × 131072)
    floor (15663.5)     		ty = 15663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16591 / 15663 ti = "17/16591/15663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16591/15663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16591 ÷ 217
    16591 ÷ 131072     		x = 0.126579284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15663 ÷ 217
    15663 ÷ 131072     		y = 0.119499206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126579284667969 × 2 - 1) × π
    -0.746841430664062 × 3.1415926535     		Λ = -2.34627155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119499206542969 × 2 - 1) × π
    0.761001586914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.39075699475106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34627155} λ = -2.34627155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39075699475106))-π/2
    2×atan(10.9217585284018)-π/2
    2×1.47949055974821-π/2
    2.95898111949643-1.57079632675     		φ = 1.38818479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34627155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.431457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38818479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.537130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16591 KachelY 15663 -2.34627155 1.38818479 -134.431457 79.537130
    Oben rechts KachelX + 1 16592 KachelY 15663 -2.34622362 1.38818479 -134.428711 79.537130
    Unten links KachelX 16591 KachelY + 1 15664 -2.34627155 1.38817609 -134.431457 79.536631
    Unten rechts KachelX + 1 16592 KachelY + 1 15664 -2.34622362 1.38817609 -134.428711 79.536631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38818479-1.38817609) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dl = 55.4276999998255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38818479-1.38817609) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dr = 55.4276999998255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34627155--2.34622362) × cos(1.38818479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181598304007791 × 6371000     		do = 55.45322675641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34627155--2.34622362) × cos(1.38817609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181606859344243 × 6371000     		du = 55.4558392313166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38818479)-sin(1.38817609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181598304007791-0.181606859344243)×R²
    abs(-2.34622362--2.34627155)×8.55533645280349e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.55533645280349e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.55533645280349e-06×40589641000000     		ar = 3073.71721831986m²