Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1659 / 698
↖ ↑ ↗
← N 49.610710°
E111.621094°		 ← 12.665 km → N 49.610710°
E111.796875°		 →
↑
12.680 km
↓
↑
12.680 km
↓
N 49.496675°
E111.621094°		 ← 12.695 km →
160.786 km²		 N 49.496675°
E111.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810302734375 y=0.341064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810302734375 × 211)
    floor (0.810302734375 × 2048)
    floor (1659.5)     		tx = 1659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341064453125 × 211)
    floor (0.341064453125 × 2048)
    floor (698.5)     		ty = 698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1659 / 698 ti = "11/1659/698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1659/698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1659 ÷ 211
    1659 ÷ 2048     		x = 0.81005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 698 ÷ 211
    698 ÷ 2048     		y = 0.3408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81005859375 × 2 - 1) × π
    0.6201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94815560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94815560} λ = 1.94815560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00015547367285))-π/2
    2×atan(2.7187044825737)-π/2
    2×1.21833327972382-π/2
    2.43666655944764-1.57079632675     		φ = 0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94815560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1659 KachelY 698 1.94815560 0.86587023 111.621094 49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 1660 KachelY 698 1.95122356 0.86587023 111.796875 49.610710
    Unten links KachelX 1659 KachelY + 1 699 1.94815560 0.86387994 111.621094 49.496675
    Unten rechts KachelX + 1 1660 KachelY + 1 699 1.95122356 0.86387994 111.796875 49.496675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86587023-0.86387994) × R
    0.00199028999999995 × 6371000     		dl = 12680.1375899997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86587023-0.86387994) × R
    0.00199028999999995 × 6371000     		dr = 12680.1375899997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94815560-1.95122356) × cos(0.86587023) × R
    0.00306796000000009 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 12665.3516487354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94815560-1.95122356) × cos(0.86387994) × R
    0.00306796000000009 × 0.649492180998693 × 6371000     		du = 12694.9567374307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86587023)-sin(0.86387994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.649492180998693)×R²
    abs(1.95122356-1.94815560)×0.00151463876743185×R²
    0.00306796000000009×0.00151463876743185×6371000²
    0.00306796000000009×0.00151463876743185×40589641000000     		ar = 160786152.906945m²