Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1659 / 371
↖ ↑ ↗
← N 81.268385°
W 34.189453°		 ← 1 483.60 m → N 81.268385°
W 34.101563°		 →
↑
1 484.70 m
↓
↑
1 484.70 m
↓
N 81.255032°
W 34.189453°		 ← 1 485.85 m →
2 204 369 m²		 N 81.255032°
W 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4051513671875 y=0.0906982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4051513671875 × 212)
    floor (0.4051513671875 × 4096)
    floor (1659.5)     		tx = 1659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0906982421875 × 212)
    floor (0.0906982421875 × 4096)
    floor (371.5)     		ty = 371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1659 / 371 ti = "12/1659/371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1659/371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1659 ÷ 212
    1659 ÷ 4096     		x = 0.405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 371 ÷ 212
    371 ÷ 4096     		y = 0.090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.18994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59671853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.090576171875 × 2 - 1) × π
    0.81884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57248578121069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59671853} λ = -0.59671853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57248578121069))-π/2
    2×atan(13.0983436228728)-π/2
    2×1.49459860934704-π/2
    2.98919721869407-1.57079632675     		φ = 1.41840089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59671853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.189453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41840089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.268385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1659 KachelY 371 -0.59671853 1.41840089 -34.189453 81.268385
    Oben rechts KachelX + 1 1660 KachelY 371 -0.59518455 1.41840089 -34.101563 81.268385
    Unten links KachelX 1659 KachelY + 1 372 -0.59671853 1.41816785 -34.189453 81.255032
    Unten rechts KachelX + 1 1660 KachelY + 1 372 -0.59518455 1.41816785 -34.101563 81.255032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41840089-1.41816785) × R
    0.000233040000000129 × 6371000     		dl = 1484.69784000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41840089-1.41816785) × R
    0.000233040000000129 × 6371000     		dr = 1484.69784000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59671853--0.59518455) × cos(1.41840089) × R
    0.00153397999999993 × 0.151806240083687 × 6371000     		do = 1483.60034709807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59671853--0.59518455) × cos(1.41816785) × R
    0.00153397999999993 × 0.152036575089231 × 6371000     		du = 1485.85140801616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41840089)-sin(1.41816785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151806240083687-0.152036575089231)×R²
    abs(-0.59518455--0.59671853)×0.000230335005544591×R²
    0.00153397999999993×0.000230335005544591×6371000²
    0.00153397999999993×0.000230335005544591×40589641000000     		ar = 2204369.313381m²