Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1659 / 2941
↖ ↑ ↗
← S 61.480760°
W 34.189453°		 ← 4 666.15 m → S 61.480760°
W 34.101563°		 →
↑
4 663 m
↓
↑
4 663 m
↓
S 61.522695°
W 34.189453°		 ← 4 659.86 m →
21 743 596 m²		 S 61.522695°
W 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4051513671875 y=0.7181396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4051513671875 × 212)
    floor (0.4051513671875 × 4096)
    floor (1659.5)     		tx = 1659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7181396484375 × 212)
    floor (0.7181396484375 × 4096)
    floor (2941.5)     		ty = 2941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1659 / 2941 ti = "12/1659/2941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1659/2941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1659 ÷ 212
    1659 ÷ 4096     		x = 0.405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2941 ÷ 212
    2941 ÷ 4096     		y = 0.718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.18994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59671853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.43603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36984484354272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59671853} λ = -0.59671853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36984484354272))-π/2
    2×atan(0.254146388947197)-π/2
    2×0.248877323455241-π/2
    0.497754646910481-1.57079632675     		φ = -1.07304168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59671853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.189453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07304168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.480760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1659 KachelY 2941 -0.59671853 -1.07304168 -34.189453 -61.480760
    Oben rechts KachelX + 1 1660 KachelY 2941 -0.59518455 -1.07304168 -34.101563 -61.480760
    Unten links KachelX 1659 KachelY + 1 2942 -0.59671853 -1.07377359 -34.189453 -61.522695
    Unten rechts KachelX + 1 1660 KachelY + 1 2942 -0.59518455 -1.07377359 -34.101563 -61.522695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07304168--1.07377359) × R
    0.000731910000000058 × 6371000     		dl = 4662.99861000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07304168--1.07377359) × R
    0.000731910000000058 × 6371000     		dr = 4662.99861000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59671853--0.59518455) × cos(-1.07304168) × R
    0.00153397999999993 × 0.477453848903823 × 6371000     		do = 4666.15005790621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59671853--0.59518455) × cos(-1.07377359) × R
    0.00153397999999993 × 0.476810623357779 × 6371000     		du = 4659.86382327681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07304168)-sin(-1.07377359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477453848903823-0.476810623357779)×R²
    abs(-0.59518455--0.59671853)×0.00064322554604479×R²
    0.00153397999999993×0.00064322554604479×6371000²
    0.00153397999999993×0.00064322554604479×40589641000000     		ar = 21743595.8530582m²