Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1659 / 2938
↖ ↑ ↗
← S 61.354614°
W 34.189453°		 ← 4 685.04 m → S 61.354614°
W 34.101563°		 →
↑
4 681.86 m
↓
↑
4 681.86 m
↓
S 61.396719°
W 34.189453°		 ← 4 678.74 m →
21 919 951 m²		 S 61.396719°
W 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4051513671875 y=0.7174072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4051513671875 × 212)
    floor (0.4051513671875 × 4096)
    floor (1659.5)     		tx = 1659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7174072265625 × 212)
    floor (0.7174072265625 × 4096)
    floor (2938.5)     		ty = 2938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1659 / 2938 ti = "12/1659/2938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1659/2938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1659 ÷ 212
    1659 ÷ 4096     		x = 0.405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2938 ÷ 212
    2938 ÷ 4096     		y = 0.71728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.18994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59671853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71728515625 × 2 - 1) × π
    -0.4345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.3652429011792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59671853} λ = -0.59671853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3652429011792))-π/2
    2×atan(0.255318651253981)-π/2
    2×0.249978154235966-π/2
    0.499956308471932-1.57079632675     		φ = -1.07084002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59671853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.189453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07084002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.354614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1659 KachelY 2938 -0.59671853 -1.07084002 -34.189453 -61.354614
    Oben rechts KachelX + 1 1660 KachelY 2938 -0.59518455 -1.07084002 -34.101563 -61.354614
    Unten links KachelX 1659 KachelY + 1 2939 -0.59671853 -1.07157489 -34.189453 -61.396719
    Unten rechts KachelX + 1 1660 KachelY + 1 2939 -0.59518455 -1.07157489 -34.101563 -61.396719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07084002--1.07157489) × R
    0.000734870000000054 × 6371000     		dl = 4681.85677000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07084002--1.07157489) × R
    0.000734870000000054 × 6371000     		dr = 4681.85677000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59671853--0.59518455) × cos(-1.07084002) × R
    0.00153397999999993 × 0.479387193751709 × 6371000     		do = 4685.04461115911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59671853--0.59518455) × cos(-1.07157489) × R
    0.00153397999999993 × 0.478742139876658 × 6371000     		du = 4678.74050829486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07084002)-sin(-1.07157489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479387193751709-0.478742139876658)×R²
    abs(-0.59518455--0.59671853)×0.000645053875051149×R²
    0.00153397999999993×0.000645053875051149×6371000²
    0.00153397999999993×0.000645053875051149×40589641000000     		ar = 21919951.3636326m²