Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1659 / 2937
↖ ↑ ↗
← S 61.312451°
W 34.189453°		 ← 4 691.35 m → S 61.312451°
W 34.101563°		 →
↑
4 688.23 m
↓
↑
4 688.23 m
↓
S 61.354614°
W 34.189453°		 ← 4 685.04 m →
21 979 349 m²		 S 61.354614°
W 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4051513671875 y=0.7171630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4051513671875 × 212)
    floor (0.4051513671875 × 4096)
    floor (1659.5)     		tx = 1659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7171630859375 × 212)
    floor (0.7171630859375 × 4096)
    floor (2937.5)     		ty = 2937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1659 / 2937 ti = "12/1659/2937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1659/2937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1659 ÷ 212
    1659 ÷ 4096     		x = 0.405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2937 ÷ 212
    2937 ÷ 4096     		y = 0.717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.18994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59671853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.43408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36370892039136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59671853} λ = -0.59671853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36370892039136))-π/2
    2×atan(0.255710605708225)-π/2
    2×0.250346087181549-π/2
    0.500692174363098-1.57079632675     		φ = -1.07010415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59671853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.189453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07010415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.312451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1659 KachelY 2937 -0.59671853 -1.07010415 -34.189453 -61.312451
    Oben rechts KachelX + 1 1660 KachelY 2937 -0.59518455 -1.07010415 -34.101563 -61.312451
    Unten links KachelX 1659 KachelY + 1 2938 -0.59671853 -1.07084002 -34.189453 -61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 1660 KachelY + 1 2938 -0.59518455 -1.07084002 -34.101563 -61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07010415--1.07084002) × R
    0.000735869999999972 × 6371000     		dl = 4688.22776999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07010415--1.07084002) × R
    0.000735869999999972 × 6371000     		dr = 4688.22776999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59671853--0.59518455) × cos(-1.07010415) × R
    0.00153397999999993 × 0.480032865992172 × 6371000     		do = 4691.35475730024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59671853--0.59518455) × cos(-1.07084002) × R
    0.00153397999999993 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 4685.04461115911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07010415)-sin(-1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480032865992172-0.479387193751709)×R²
    abs(-0.59518455--0.59671853)×0.000645672240463246×R²
    0.00153397999999993×0.000645672240463246×6371000²
    0.00153397999999993×0.000645672240463246×40589641000000     		ar = 21979348.9427397m²