Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16587 / 16830
↖ ↑ ↗
← N 78.938762°
W134.442444°		 ← 58.60 m → N 78.938762°
W134.439697°		 →
↑
58.61 m
↓
↑
58.61 m
↓
N 78.938235°
W134.442444°		 ← 58.60 m →
3 435 m²		 N 78.938235°
W134.439697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126552581787109 y=0.128406524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126552581787109 × 217)
    floor (0.126552581787109 × 131072)
    floor (16587.5)     		tx = 16587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128406524658203 × 217)
    floor (0.128406524658203 × 131072)
    floor (16830.5)     		ty = 16830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16587 / 16830 ti = "17/16587/16830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16587/16830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16587 ÷ 217
    16587 ÷ 131072     		x = 0.126548767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16830 ÷ 217
    16830 ÷ 131072     		y = 0.128402709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126548767089844 × 2 - 1) × π
    -0.746902465820312 × 3.1415926535     		Λ = -2.34646330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128402709960938 × 2 - 1) × π
    0.743194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33481463289445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34646330} λ = -2.34646330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33481463289445))-π/2
    2×atan(10.3275453647347)-π/2
    2×1.47426881899314-π/2
    2.94853763798629-1.57079632675     		φ = 1.37774131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34646330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.442444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37774131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.938762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16587 KachelY 16830 -2.34646330 1.37774131 -134.442444 78.938762
    Oben rechts KachelX + 1 16588 KachelY 16830 -2.34641536 1.37774131 -134.439697 78.938762
    Unten links KachelX 16587 KachelY + 1 16831 -2.34646330 1.37773211 -134.442444 78.938235
    Unten rechts KachelX + 1 16588 KachelY + 1 16831 -2.34641536 1.37773211 -134.439697 78.938235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37774131-1.37773211) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dl = 58.6132000002708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37774131-1.37773211) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dr = 58.6132000002708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34646330--2.34641536) × cos(1.37774131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191858048419422 × 6371000     		do = 58.5983864134193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34646330--2.34641536) × cos(1.37773211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191867077500016 × 6371000     		du = 58.6011441270415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37774131)-sin(1.37773211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191858048419422-0.191867077500016)×R²
    abs(-2.34641536--2.34646330)×9.02908059477459e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.02908059477459e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.02908059477459e-06×40589641000000     		ar = 3434.71976179064m²