Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16584 / 50008
↖ ↑ ↗
← N 39.181175°
W134.450684°		 ← 236.75 m → N 39.181175°
W134.447937°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
N 39.179046°
W134.450684°		 ← 236.76 m →
56 051 m²		 N 39.179046°
W134.447937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126529693603516 y=0.381534576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126529693603516 × 217)
    floor (0.126529693603516 × 131072)
    floor (16584.5)     		tx = 16584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381534576416016 × 217)
    floor (0.381534576416016 × 131072)
    floor (50008.5)     		ty = 50008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16584 / 50008 ti = "17/16584/50008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16584/50008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16584 ÷ 217
    16584 ÷ 131072     		x = 0.12652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50008 ÷ 217
    50008 ÷ 131072     		y = 0.38153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.7469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34660711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38153076171875 × 2 - 1) × π
    0.2369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.744364177300232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34660711} λ = -2.34660711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744364177300232))-π/2
    2×atan(2.10510253739648)-π/2
    2×1.12731841994703-π/2
    2.25463683989406-1.57079632675     		φ = 0.68384051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34660711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.450684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68384051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.181175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16584 KachelY 50008 -2.34660711 0.68384051 -134.450684 39.181175
    Oben rechts KachelX + 1 16585 KachelY 50008 -2.34655917 0.68384051 -134.447937 39.181175
    Unten links KachelX 16584 KachelY + 1 50009 -2.34660711 0.68380335 -134.450684 39.179046
    Unten rechts KachelX + 1 16585 KachelY + 1 50009 -2.34655917 0.68380335 -134.447937 39.179046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68384051-0.68380335) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dl = 236.746359999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68384051-0.68380335) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dr = 236.746359999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34660711--2.34655917) × cos(0.68384051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775152104386658 × 6371000     		do = 236.751405094697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34660711--2.34655917) × cos(0.68380335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775175580597653 × 6371000     		du = 236.758575333813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68384051)-sin(0.68380335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775152104386658-0.775175580597653)×R²
    abs(-2.34655917--2.34660711)×2.34762109946329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34762109946329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34762109946329e-05×40589641000000     		ar = 56050.8821514958m²