Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16582 / 16834
↖ ↑ ↗
← N 78.936654°
W134.456177°		 ← 58.60 m → N 78.936654°
W134.453430°		 →
↑
58.61 m
↓
↑
58.61 m
↓
N 78.936127°
W134.456177°		 ← 58.60 m →
3 435 m²		 N 78.936127°
W134.453430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126514434814453 y=0.128437042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126514434814453 × 217)
    floor (0.126514434814453 × 131072)
    floor (16582.5)     		tx = 16582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128437042236328 × 217)
    floor (0.128437042236328 × 131072)
    floor (16834.5)     		ty = 16834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16582 / 16834 ti = "17/16582/16834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16582/16834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16582 ÷ 217
    16582 ÷ 131072     		x = 0.126510620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16834 ÷ 217
    16834 ÷ 131072     		y = 0.128433227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126510620117188 × 2 - 1) × π
    -0.746978759765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34670298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128433227539062 × 2 - 1) × π
    0.743133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33462288529597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34670298} λ = -2.34670298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33462288529597))-π/2
    2×atan(10.3255652725579)-π/2
    2×1.47425042310238-π/2
    2.94850084620476-1.57079632675     		φ = 1.37770452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34670298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.456177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37770452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.936654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16582 KachelY 16834 -2.34670298 1.37770452 -134.456177 78.936654
    Oben rechts KachelX + 1 16583 KachelY 16834 -2.34665505 1.37770452 -134.453430 78.936654
    Unten links KachelX 16582 KachelY + 1 16835 -2.34670298 1.37769532 -134.456177 78.936127
    Unten rechts KachelX + 1 16583 KachelY + 1 16835 -2.34665505 1.37769532 -134.453430 78.936127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37770452-1.37769532) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dl = 58.6132000002708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37770452-1.37769532) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dr = 58.6132000002708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34670298--2.34665505) × cos(1.37770452) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191894154830204 × 6371000     		do = 58.5971886641211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34670298--2.34665505) × cos(1.37769532) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191903183845853 × 6371000     		du = 58.5999457826687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37770452)-sin(1.37769532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191894154830204-0.191903183845853)×R²
    abs(-2.34665505--2.34670298)×9.02901564933667e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.02901564933667e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.02901564933667e-06×40589641000000     		ar = 3434.64954031027m²