Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16580 / 49980
↖ ↑ ↗
← N 39.240763°
W134.461670°		 ← 236.55 m → N 39.240763°
W134.458923°		 →
↑
236.56 m
↓
↑
236.56 m
↓
N 39.238635°
W134.461670°		 ← 236.56 m →
55 958 m²		 N 39.238635°
W134.458923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126499176025391 y=0.381320953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126499176025391 × 217)
    floor (0.126499176025391 × 131072)
    floor (16580.5)     		tx = 16580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381320953369141 × 217)
    floor (0.381320953369141 × 131072)
    floor (49980.5)     		ty = 49980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16580 / 49980 ti = "17/16580/49980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16580/49980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16580 ÷ 217
    16580 ÷ 131072     		x = 0.126495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49980 ÷ 217
    49980 ÷ 131072     		y = 0.381317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.74700927734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34679886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381317138671875 × 2 - 1) × π
    0.23736572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.745706410489594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34679886} λ = -2.34679886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.745706410489594))-π/2
    2×atan(2.10792997300365)-π/2
    2×1.12783841678564-π/2
    2.25567683357127-1.57079632675     		φ = 0.68488051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34679886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.461670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68488051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.240763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16580 KachelY 49980 -2.34679886 0.68488051 -134.461670 39.240763
    Oben rechts KachelX + 1 16581 KachelY 49980 -2.34675092 0.68488051 -134.458923 39.240763
    Unten links KachelX 16580 KachelY + 1 49981 -2.34679886 0.68484338 -134.461670 39.238635
    Unten rechts KachelX + 1 16581 KachelY + 1 49981 -2.34675092 0.68484338 -134.458923 39.238635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68488051-0.68484338) × R
    3.71300000000518e-05 × 6371000     		dl = 236.55523000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68488051-0.68484338) × R
    3.71300000000518e-05 × 6371000     		dr = 236.55523000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34679886--2.34675092) × cos(0.68488051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774494639661382 × 6371000     		do = 236.550598444456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34679886--2.34675092) × cos(0.68484338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774518126840416 × 6371000     		du = 236.557772033493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68488051)-sin(0.68484338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774494639661382-0.774518126840416)×R²
    abs(-2.34675092--2.34679886)×2.34871790342206e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34871790342206e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34871790342206e-05×40589641000000     		ar = 55958.1297032145m²