Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1658 / 2954
↖ ↑ ↗
← S 62.021528°
W 34.277344°		 ← 4 584.90 m → S 62.021528°
W 34.189453°		 →
↑
4 581.83 m
↓
↑
4 581.83 m
↓
S 62.062733°
W 34.277344°		 ← 4 578.69 m →
20 993 005 m²		 S 62.062733°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4049072265625 y=0.7213134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4049072265625 × 212)
    floor (0.4049072265625 × 4096)
    floor (1658.5)     		tx = 1658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7213134765625 × 212)
    floor (0.7213134765625 × 4096)
    floor (2954.5)     		ty = 2954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1658 / 2954 ti = "12/1658/2954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1658/2954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1658 ÷ 212
    1658 ÷ 4096     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2954 ÷ 212
    2954 ÷ 4096     		y = 0.72119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72119140625 × 2 - 1) × π
    -0.4423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38978659378467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38978659378467))-π/2
    2×atan(0.249128464521886)-π/2
    2×0.244158226380983-π/2
    0.488316452761966-1.57079632675     		φ = -1.08247987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08247987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.021528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1658 KachelY 2954 -0.59825251 -1.08247987 -34.277344 -62.021528
    Oben rechts KachelX + 1 1659 KachelY 2954 -0.59671853 -1.08247987 -34.189453 -62.021528
    Unten links KachelX 1658 KachelY + 1 2955 -0.59825251 -1.08319904 -34.277344 -62.062733
    Unten rechts KachelX + 1 1659 KachelY + 1 2955 -0.59671853 -1.08319904 -34.189453 -62.062733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08247987--1.08319904) × R
    0.000719169999999991 × 6371000     		dl = 4581.83206999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08247987--1.08319904) × R
    0.000719169999999991 × 6371000     		dr = 4581.83206999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59671853) × cos(-1.08247987) × R
    0.00153398000000005 × 0.469139776432619 × 6371000     		do = 4584.89673922032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59671853) × cos(-1.08319904) × R
    0.00153398000000005 × 0.468504538932068 × 6371000     		du = 4578.68857165232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08247987)-sin(-1.08319904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469139776432619-0.468504538932068)×R²
    abs(-0.59671853--0.59825251)×0.000635237500551056×R²
    0.00153398000000005×0.000635237500551056×6371000²
    0.00153398000000005×0.000635237500551056×40589641000000     		ar = 20993005.4315785m²