Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1658 / 2942
↖ ↑ ↗
← S 61.522695°
W 34.277344°		 ← 4 659.86 m → S 61.522695°
W 34.189453°		 →
↑
4 656.76 m
↓
↑
4 656.76 m
↓
S 61.564574°
W 34.277344°		 ← 4 653.58 m →
21 685 222 m²		 S 61.564574°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4049072265625 y=0.7183837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4049072265625 × 212)
    floor (0.4049072265625 × 4096)
    floor (1658.5)     		tx = 1658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7183837890625 × 212)
    floor (0.7183837890625 × 4096)
    floor (2942.5)     		ty = 2942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1658 / 2942 ti = "12/1658/2942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1658/2942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1658 ÷ 212
    1658 ÷ 4096     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2942 ÷ 212
    2942 ÷ 4096     		y = 0.71826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71826171875 × 2 - 1) × π
    -0.4365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37137882433057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37137882433057))-π/2
    2×atan(0.253756832131977)-π/2
    2×0.248511367653049-π/2
    0.497022735306097-1.57079632675     		φ = -1.07377359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07377359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.522695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1658 KachelY 2942 -0.59825251 -1.07377359 -34.277344 -61.522695
    Oben rechts KachelX + 1 1659 KachelY 2942 -0.59671853 -1.07377359 -34.189453 -61.522695
    Unten links KachelX 1658 KachelY + 1 2943 -0.59825251 -1.07450452 -34.277344 -61.564574
    Unten rechts KachelX + 1 1659 KachelY + 1 2943 -0.59671853 -1.07450452 -34.189453 -61.564574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07377359--1.07450452) × R
    0.000730930000000019 × 6371000     		dl = 4656.75503000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07377359--1.07450452) × R
    0.000730930000000019 × 6371000     		dr = 4656.75503000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59671853) × cos(-1.07377359) × R
    0.00153398000000005 × 0.476810623357779 × 6371000     		do = 4659.86382327714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59671853) × cos(-1.07450452) × R
    0.00153398000000005 × 0.476168004155459 × 6371000     		du = 4653.58351443683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07377359)-sin(-1.07450452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476810623357779-0.476168004155459)×R²
    abs(-0.59671853--0.59825251)×0.000642619202319228×R²
    0.00153398000000005×0.000642619202319228×6371000²
    0.00153398000000005×0.000642619202319228×40589641000000     		ar = 21685222.333729m²