Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16579 / 16835
↖ ↑ ↗
← N 78.936127°
W134.464416°		 ← 58.60 m → N 78.936127°
W134.461670°		 →
↑
58.61 m
↓
↑
58.61 m
↓
N 78.935600°
W134.464416°		 ← 58.60 m →
3 435 m²		 N 78.935600°
W134.461670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126491546630859 y=0.128444671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126491546630859 × 217)
    floor (0.126491546630859 × 131072)
    floor (16579.5)     		tx = 16579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128444671630859 × 217)
    floor (0.128444671630859 × 131072)
    floor (16835.5)     		ty = 16835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16579 / 16835 ti = "17/16579/16835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16579/16835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16579 ÷ 217
    16579 ÷ 131072     		x = 0.126487731933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16835 ÷ 217
    16835 ÷ 131072     		y = 0.128440856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126487731933594 × 2 - 1) × π
    -0.747024536132812 × 3.1415926535     		Λ = -2.34684679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128440856933594 × 2 - 1) × π
    0.743118286132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.33457494839635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34684679} λ = -2.34684679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33457494839635))-π/2
    2×atan(10.3250703088355)-π/2
    2×1.47424582358875-π/2
    2.94849164717751-1.57079632675     		φ = 1.37769532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34684679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.464416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37769532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.936127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16579 KachelY 16835 -2.34684679 1.37769532 -134.464416 78.936127
    Oben rechts KachelX + 1 16580 KachelY 16835 -2.34679886 1.37769532 -134.461670 78.936127
    Unten links KachelX 16579 KachelY + 1 16836 -2.34684679 1.37768612 -134.464416 78.935600
    Unten rechts KachelX + 1 16580 KachelY + 1 16836 -2.34679886 1.37768612 -134.461670 78.935600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37769532-1.37768612) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dl = 58.6132000002708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37769532-1.37768612) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dr = 58.6132000002708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34684679--2.34679886) × cos(1.37769532) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191903183845853 × 6371000     		do = 58.5999457826687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34684679--2.34679886) × cos(1.37768612) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19191221284526 × 6371000     		du = 58.6027028962564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37769532)-sin(1.37768612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191903183845853-0.19191221284526)×R²
    abs(-2.34679886--2.34684679)×9.0289994066628e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.0289994066628e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.0289994066628e-06×40589641000000     		ar = 3434.81114395569m²