Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16573 / 49854
↖ ↑ ↗
← N 39.508279°
W134.480896°		 ← 235.65 m → N 39.508279°
W134.478149°		 →
↑
235.66 m
↓
↑
235.66 m
↓
N 39.506160°
W134.480896°		 ← 235.65 m →
55 534 m²		 N 39.506160°
W134.478149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126445770263672 y=0.380359649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126445770263672 × 217)
    floor (0.126445770263672 × 131072)
    floor (16573.5)     		tx = 16573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380359649658203 × 217)
    floor (0.380359649658203 × 131072)
    floor (49854.5)     		ty = 49854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16573 / 49854 ti = "17/16573/49854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16573/49854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16573 ÷ 217
    16573 ÷ 131072     		x = 0.126441955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49854 ÷ 217
    49854 ÷ 131072     		y = 0.380355834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126441955566406 × 2 - 1) × π
    -0.747116088867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.34713442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380355834960938 × 2 - 1) × π
    0.239288330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.751746459841721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34713442} λ = -2.34713442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.751746459841721))-π/2
    2×atan(2.12070050256108)-π/2
    2×1.13017293847814-π/2
    2.26034587695627-1.57079632675     		φ = 0.68954955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34713442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.480896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68954955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.508279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16573 KachelY 49854 -2.34713442 0.68954955 -134.480896 39.508279
    Oben rechts KachelX + 1 16574 KachelY 49854 -2.34708648 0.68954955 -134.478149 39.508279
    Unten links KachelX 16573 KachelY + 1 49855 -2.34713442 0.68951256 -134.480896 39.506160
    Unten rechts KachelX + 1 16574 KachelY + 1 49855 -2.34708648 0.68951256 -134.478149 39.506160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68954955-0.68951256) × R
    3.69899999999035e-05 × 6371000     		dl = 235.663289999385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68954955-0.68951256) × R
    3.69899999999035e-05 × 6371000     		dr = 235.663289999385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34713442--2.34708648) × cos(0.68954955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771532664916229 × 6371000     		do = 235.645935116057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34713442--2.34708648) × cos(0.68951256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771556197045764 × 6371000     		du = 235.653122434134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68954955)-sin(0.68951256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771532664916229-0.771556197045764)×R²
    abs(-2.34708648--2.34713442)×2.35321295346536e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35321295346536e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35321295346536e-05×40589641000000     		ar = 55533.94324439m²