Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16570 / 49998
↖ ↑ ↗
← N 39.202462°
W134.489136°		 ← 236.68 m → N 39.202462°
W134.486389°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
N 39.200334°
W134.489136°		 ← 236.69 m →
56 019 m²		 N 39.200334°
W134.486389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126422882080078 y=0.381458282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126422882080078 × 217)
    floor (0.126422882080078 × 131072)
    floor (16570.5)     		tx = 16570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381458282470703 × 217)
    floor (0.381458282470703 × 131072)
    floor (49998.5)     		ty = 49998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16570 / 49998 ti = "17/16570/49998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16570/49998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16570 ÷ 217
    16570 ÷ 131072     		x = 0.126419067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49998 ÷ 217
    49998 ÷ 131072     		y = 0.381454467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126419067382812 × 2 - 1) × π
    -0.747161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34727823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381454467773438 × 2 - 1) × π
    0.237091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.744843546296432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34727823} λ = -2.34727823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744843546296432))-π/2
    2×atan(2.10611190019602)-π/2
    2×1.12750418375438-π/2
    2.25500836750875-1.57079632675     		φ = 0.68421204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34727823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.489136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68421204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.202462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16570 KachelY 49998 -2.34727823 0.68421204 -134.489136 39.202462
    Oben rechts KachelX + 1 16571 KachelY 49998 -2.34723029 0.68421204 -134.486389 39.202462
    Unten links KachelX 16570 KachelY + 1 49999 -2.34727823 0.68417489 -134.489136 39.200334
    Unten rechts KachelX + 1 16571 KachelY + 1 49999 -2.34723029 0.68417489 -134.486389 39.200334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68421204-0.68417489) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dl = 236.682650000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68421204-0.68417489) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dr = 236.682650000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34727823--2.34723029) × cos(0.68421204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774917327655497 × 6371000     		do = 236.679698237848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34727823--2.34723029) × cos(0.68417489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774940808246488 × 6371000     		du = 236.686869814726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68421204)-sin(0.68417489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774917327655497-0.774940808246488)×R²
    abs(-2.34723029--2.34727823)×2.34805909906655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34805909906655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34805909906655e-05×40589641000000     		ar = 56018.8268804097m²