Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1657 / 2957
↖ ↑ ↗
← S 62.144976°
W 34.365234°		 ← 4 566.29 m → S 62.144976°
W 34.277344°		 →
↑
4 563.17 m
↓
↑
4 563.17 m
↓
S 62.186014°
W 34.365234°		 ← 4 560.10 m →
20 822 615 m²		 S 62.186014°
W 34.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4046630859375 y=0.7220458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4046630859375 × 212)
    floor (0.4046630859375 × 4096)
    floor (1657.5)     		tx = 1657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7220458984375 × 212)
    floor (0.7220458984375 × 4096)
    floor (2957.5)     		ty = 2957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1657 / 2957 ti = "12/1657/2957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1657/2957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1657 ÷ 212
    1657 ÷ 4096     		x = 0.404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2957 ÷ 212
    2957 ÷ 4096     		y = 0.721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.19091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59978649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.44384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39438853614819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59978649} λ = -0.59978649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39438853614819))-π/2
    2×atan(0.2479846236506)-π/2
    2×0.243080940692729-π/2
    0.486161881385458-1.57079632675     		φ = -1.08463445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59978649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.365234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08463445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.144976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1657 KachelY 2957 -0.59978649 -1.08463445 -34.365234 -62.144976
    Oben rechts KachelX + 1 1658 KachelY 2957 -0.59825251 -1.08463445 -34.277344 -62.144976
    Unten links KachelX 1657 KachelY + 1 2958 -0.59978649 -1.08535069 -34.365234 -62.186014
    Unten rechts KachelX + 1 1658 KachelY + 1 2958 -0.59825251 -1.08535069 -34.277344 -62.186014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08463445--1.08535069) × R
    0.000716240000000035 × 6371000     		dl = 4563.16504000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08463445--1.08535069) × R
    0.000716240000000035 × 6371000     		dr = 4563.16504000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59978649--0.59825251) × cos(-1.08463445) × R
    0.00153397999999993 × 0.467235927831058 × 6371000     		do = 4566.29045238658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59978649--0.59825251) × cos(-1.08535069) × R
    0.00153397999999993 × 0.46660255685181 × 6371000     		du = 4560.10052630623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08463445)-sin(-1.08535069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467235927831058-0.46660255685181)×R²
    abs(-0.59825251--0.59978649)×0.000633370979248371×R²
    0.00153397999999993×0.000633370979248371×6371000²
    0.00153397999999993×0.000633370979248371×40589641000000     		ar = 20822615.0178416m²