Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1657 / 2956
↖ ↑ ↗
← S 62.103883°
W 34.365234°		 ← 4 572.49 m → S 62.103883°
W 34.277344°		 →
↑
4 569.41 m
↓
↑
4 569.41 m
↓
S 62.144976°
W 34.365234°		 ← 4 566.29 m →
20 879 404 m²		 S 62.144976°
W 34.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4046630859375 y=0.7218017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4046630859375 × 212)
    floor (0.4046630859375 × 4096)
    floor (1657.5)     		tx = 1657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7218017578125 × 212)
    floor (0.7218017578125 × 4096)
    floor (2956.5)     		ty = 2956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1657 / 2956 ti = "12/1657/2956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1657/2956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1657 ÷ 212
    1657 ÷ 4096     		x = 0.404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2956 ÷ 212
    2956 ÷ 4096     		y = 0.7216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.19091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59978649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7216796875 × 2 - 1) × π
    -0.443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39285455536035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59978649} λ = -0.59978649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39285455536035))-π/2
    2×atan(0.248365319214149)-π/2
    2×0.243439549258596-π/2
    0.486879098517192-1.57079632675     		φ = -1.08391723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59978649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.365234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08391723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.103883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1657 KachelY 2956 -0.59978649 -1.08391723 -34.365234 -62.103883
    Oben rechts KachelX + 1 1658 KachelY 2956 -0.59825251 -1.08391723 -34.277344 -62.103883
    Unten links KachelX 1657 KachelY + 1 2957 -0.59978649 -1.08463445 -34.365234 -62.144976
    Unten rechts KachelX + 1 1658 KachelY + 1 2957 -0.59825251 -1.08463445 -34.277344 -62.144976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08391723--1.08463445) × R
    0.000717220000000074 × 6371000     		dl = 4569.40862000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08391723--1.08463445) × R
    0.000717220000000074 × 6371000     		dr = 4569.40862000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59978649--0.59825251) × cos(-1.08391723) × R
    0.00153397999999993 × 0.467869925240023 × 6371000     		do = 4572.48650055616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59978649--0.59825251) × cos(-1.08463445) × R
    0.00153397999999993 × 0.467235927831058 × 6371000     		du = 4566.29045238658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08391723)-sin(-1.08463445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467869925240023-0.467235927831058)×R²
    abs(-0.59825251--0.59978649)×0.000633997408965303×R²
    0.00153397999999993×0.000633997408965303×6371000²
    0.00153397999999993×0.000633997408965303×40589641000000     		ar = 20879403.9875523m²