Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16567 / 49997
↖ ↑ ↗
← N 39.204591°
W134.497376°		 ← 236.67 m → N 39.204591°
W134.494629°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
N 39.202462°
W134.497376°		 ← 236.68 m →
56 017 m²		 N 39.202462°
W134.494629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126399993896484 y=0.381450653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126399993896484 × 217)
    floor (0.126399993896484 × 131072)
    floor (16567.5)     		tx = 16567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381450653076172 × 217)
    floor (0.381450653076172 × 131072)
    floor (49997.5)     		ty = 49997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16567 / 49997 ti = "17/16567/49997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16567/49997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16567 ÷ 217
    16567 ÷ 131072     		x = 0.126396179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49997 ÷ 217
    49997 ÷ 131072     		y = 0.381446838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126396179199219 × 2 - 1) × π
    -0.747207641601562 × 3.1415926535     		Λ = -2.34742204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381446838378906 × 2 - 1) × π
    0.237106323242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.744891483196053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34742204} λ = -2.34742204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744891483196053))-π/2
    2×atan(2.10621286309067)-π/2
    2×1.12752275704006-π/2
    2.25504551408011-1.57079632675     		φ = 0.68424919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34742204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.497376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68424919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.204591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16567 KachelY 49997 -2.34742204 0.68424919 -134.497376 39.204591
    Oben rechts KachelX + 1 16568 KachelY 49997 -2.34737410 0.68424919 -134.494629 39.204591
    Unten links KachelX 16567 KachelY + 1 49998 -2.34742204 0.68421204 -134.497376 39.202462
    Unten rechts KachelX + 1 16568 KachelY + 1 49998 -2.34737410 0.68421204 -134.494629 39.202462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68424919-0.68421204) × R
    3.71499999999303e-05 × 6371000     		dl = 236.682649999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68424919-0.68421204) × R
    3.71499999999303e-05 × 6371000     		dr = 236.682649999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34742204--2.34737410) × cos(0.68424919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774893845995026 × 6371000     		do = 236.672526334322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34742204--2.34737410) × cos(0.68421204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774917327655497 × 6371000     		du = 236.679698237848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68424919)-sin(0.68421204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774893845995026-0.774917327655497)×R²
    abs(-2.34737410--2.34742204)×2.34816604712806e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34816604712806e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34816604712806e-05×40589641000000     		ar = 56017.1294540349m²