Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16566 / 49976
↖ ↑ ↗
← N 39.249271°
W134.500122°		 ← 236.47 m → N 39.249271°
W134.497376°		 →
↑
236.56 m
↓
↑
236.56 m
↓
N 39.247144°
W134.500122°		 ← 236.48 m →
55 940 m²		 N 39.247144°
W134.497376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126392364501953 y=0.381290435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126392364501953 × 217)
    floor (0.126392364501953 × 131072)
    floor (16566.5)     		tx = 16566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381290435791016 × 217)
    floor (0.381290435791016 × 131072)
    floor (49976.5)     		ty = 49976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16566 / 49976 ti = "17/16566/49976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16566/49976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16566 ÷ 217
    16566 ÷ 131072     		x = 0.126388549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49976 ÷ 217
    49976 ÷ 131072     		y = 0.38128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126388549804688 × 2 - 1) × π
    -0.747222900390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34746997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38128662109375 × 2 - 1) × π
    0.2374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.745898158088074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34746997} λ = -2.34746997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.745898158088074))-π/2
    2×atan(2.10833420226749)-π/2
    2×1.127912666026-π/2
    2.25582533205201-1.57079632675     		φ = 0.68502901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34746997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.500122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68502901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.249271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16566 KachelY 49976 -2.34746997 0.68502901 -134.500122 39.249271
    Oben rechts KachelX + 1 16567 KachelY 49976 -2.34742204 0.68502901 -134.497376 39.249271
    Unten links KachelX 16566 KachelY + 1 49977 -2.34746997 0.68499188 -134.500122 39.247144
    Unten rechts KachelX + 1 16567 KachelY + 1 49977 -2.34742204 0.68499188 -134.497376 39.247144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68502901-0.68499188) × R
    3.71300000000518e-05 × 6371000     		dl = 236.55523000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68502901-0.68499188) × R
    3.71300000000518e-05 × 6371000     		dr = 236.55523000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34746997--2.34742204) × cos(0.68502901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774400692922009 × 6371000     		do = 236.472567624216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34746997--2.34742204) × cos(0.68499188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774424184371262 × 6371000     		du = 236.479741020848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68502901)-sin(0.68499188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774400692922009-0.774424184371262)×R²
    abs(-2.34742204--2.34746997)×2.34914492523997e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34914492523997e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34914492523997e-05×40589641000000     		ar = 55939.6710817366m²