Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16562 / 16786
↖ ↑ ↗
← N 78.961924°
W134.511108°		 ← 58.47 m → N 78.961924°
W134.508362°		 →
↑
58.42 m
↓
↑
58.42 m
↓
N 78.961399°
W134.511108°		 ← 58.47 m →
3 416 m²		 N 78.961399°
W134.508362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126361846923828 y=0.128070831298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126361846923828 × 217)
    floor (0.126361846923828 × 131072)
    floor (16562.5)     		tx = 16562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128070831298828 × 217)
    floor (0.128070831298828 × 131072)
    floor (16786.5)     		ty = 16786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16562 / 16786 ti = "17/16562/16786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16562/16786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16562 ÷ 217
    16562 ÷ 131072     		x = 0.126358032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16786 ÷ 217
    16786 ÷ 131072     		y = 0.128067016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126358032226562 × 2 - 1) × π
    -0.747283935546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34766172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128067016601562 × 2 - 1) × π
    0.743865966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33692385647774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34766172} λ = -2.34766172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33692385647774))-π/2
    2×atan(10.349351455852)-π/2
    2×1.47447094546947-π/2
    2.94894189093894-1.57079632675     		φ = 1.37814556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34766172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.511108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37814556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.961924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16562 KachelY 16786 -2.34766172 1.37814556 -134.511108 78.961924
    Oben rechts KachelX + 1 16563 KachelY 16786 -2.34761379 1.37814556 -134.508362 78.961924
    Unten links KachelX 16562 KachelY + 1 16787 -2.34766172 1.37813639 -134.511108 78.961399
    Unten rechts KachelX + 1 16563 KachelY + 1 16787 -2.34761379 1.37813639 -134.508362 78.961399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37814556-1.37813639) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dl = 58.4220700000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37814556-1.37813639) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dr = 58.4220700000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34766172--2.34761379) × cos(1.37814556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191461292632741 × 6371000     		do = 58.4650089847935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34766172--2.34761379) × cos(1.37813639) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191470292981201 × 6371000     		du = 58.4677573494702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37814556)-sin(1.37813639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191461292632741-0.191470292981201)×R²
    abs(-2.34761379--2.34766172)×9.00034846085251e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.00034846085251e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.00034846085251e-06×40589641000000     		ar = 3415.72712995458m²