Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16560 / 51056
↖ ↑ ↗
← S 70.348317°
W 89.033203°		 ← 205.43 m → S 70.348317°
W 89.027710°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
S 70.350165°
W 89.033203°		 ← 205.41 m →
42 207 m²		 S 70.350165°
W 89.027710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.252693176269531 y=0.779060363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.252693176269531 × 216)
    floor (0.252693176269531 × 65536)
    floor (16560.5)     		tx = 16560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779060363769531 × 216)
    floor (0.779060363769531 × 65536)
    floor (51056.5)     		ty = 51056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16560 / 51056 ti = "16/16560/51056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16560/51056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16560 ÷ 216
    16560 ÷ 65536     		x = 0.252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51056 ÷ 216
    51056 ÷ 65536     		y = 0.779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.49462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.55392254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75334004050317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.55392254} λ = -1.55392254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75334004050317))-π/2
    2×atan(0.173194499662468)-π/2
    2×0.171493281076931-π/2
    0.342986562153863-1.57079632675     		φ = -1.22780976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.55392254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -89.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22780976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.348317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16560 KachelY 51056 -1.55392254 -1.22780976 -89.033203 -70.348317
    Oben rechts KachelX + 1 16561 KachelY 51056 -1.55382666 -1.22780976 -89.027710 -70.348317
    Unten links KachelX 16560 KachelY + 1 51057 -1.55392254 -1.22784201 -89.033203 -70.350165
    Unten rechts KachelX + 1 16561 KachelY + 1 51057 -1.55382666 -1.22784201 -89.027710 -70.350165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22780976--1.22784201) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dl = 205.464750000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22780976--1.22784201) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dr = 205.464750000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.55392254--1.55382666) × cos(-1.22780976) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.336301200453459 × 6371000     		do = 205.430086023113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.55392254--1.55382666) × cos(-1.22784201) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.336270828696563 × 6371000     		du = 205.411533390463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22780976)-sin(-1.22784201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336301200453459-0.336270828696563)×R²
    abs(-1.55382666--1.55392254)×3.03717568956863e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.03717568956863e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.03717568956863e-05×40589641000000     		ar = 42206.7353148838m²