Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16560 / 51019
↖ ↑ ↗
← S 70.279851°
W 89.033203°		 ← 206.12 m → S 70.279851°
W 89.027710°		 →
↑
206.10 m
↓
↑
206.10 m
↓
S 70.281705°
W 89.033203°		 ← 206.10 m →
42 479 m²		 S 70.281705°
W 89.027710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.252693176269531 y=0.778495788574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.252693176269531 × 216)
    floor (0.252693176269531 × 65536)
    floor (16560.5)     		tx = 16560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778495788574219 × 216)
    floor (0.778495788574219 × 65536)
    floor (51019.5)     		ty = 51019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16560 / 51019 ti = "16/16560/51019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16560/51019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16560 ÷ 216
    16560 ÷ 65536     		x = 0.252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51019 ÷ 216
    51019 ÷ 65536     		y = 0.778488159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.49462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.55392254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778488159179688 × 2 - 1) × π
    -0.556976318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74979270993129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.55392254} λ = -1.55392254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74979270993129))-π/2
    2×atan(0.173809968796842)-π/2
    2×0.172090764146694-π/2
    0.344181528293389-1.57079632675     		φ = -1.22661480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.55392254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -89.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22661480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.279851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16560 KachelY 51019 -1.55392254 -1.22661480 -89.033203 -70.279851
    Oben rechts KachelX + 1 16561 KachelY 51019 -1.55382666 -1.22661480 -89.027710 -70.279851
    Unten links KachelX 16560 KachelY + 1 51020 -1.55392254 -1.22664715 -89.033203 -70.281705
    Unten rechts KachelX + 1 16561 KachelY + 1 51020 -1.55382666 -1.22664715 -89.027710 -70.281705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22661480--1.22664715) × R
    3.23500000001253e-05 × 6371000     		dl = 206.101850000798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22661480--1.22664715) × R
    3.23500000001253e-05 × 6371000     		dr = 206.101850000798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.55392254--1.55382666) × cos(-1.22661480) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.337426319013152 × 6371000     		do = 206.117366360478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.55392254--1.55382666) × cos(-1.22664715) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.337395866101262 × 6371000     		du = 206.09876415418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22661480)-sin(-1.22664715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337426319013152-0.337395866101262)×R²
    abs(-1.55382666--1.55392254)×3.04529118897445e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.04529118897445e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.04529118897445e-05×40589641000000     		ar = 42479.2535533355m²