Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1656 / 824
↖ ↑ ↗
← N 33.137551°
E111.093750°		 ← 16.367 km → N 33.137551°
E111.269531°		 →
↑
16.381 km
↓
↑
16.381 km
↓
N 32.990235°
E111.093750°		 ← 16.394 km →
268.329 km²		 N 32.990235°
E111.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808837890625 y=0.402587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808837890625 × 211)
    floor (0.808837890625 × 2048)
    floor (1656.5)     		tx = 1656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402587890625 × 211)
    floor (0.402587890625 × 2048)
    floor (824.5)     		ty = 824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1656 / 824 ti = "11/1656/824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1656/824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1656 ÷ 211
    1656 ÷ 2048     		x = 0.80859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 824 ÷ 211
    824 ÷ 2048     		y = 0.40234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80859375 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93895172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40234375 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93895172} λ = 1.93895172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613592315136719))-π/2
    2×atan(1.84705469771943)-π/2
    2×1.07457785056741-π/2
    2.14915570113482-1.57079632675     		φ = 0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93895172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1656 KachelY 824 1.93895172 0.57835937 111.093750 33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 1657 KachelY 824 1.94201968 0.57835937 111.269531 33.137551
    Unten links KachelX 1656 KachelY + 1 825 1.93895172 0.57578823 111.093750 32.990235
    Unten rechts KachelX + 1 1657 KachelY + 1 825 1.94201968 0.57578823 111.269531 32.990235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57835937-0.57578823) × R
    0.00257114000000003 × 6371000     		dl = 16380.7329400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57835937-0.57578823) × R
    0.00257114000000003 × 6371000     		dr = 16380.7329400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93895172-1.94201968) × cos(0.57835937) × R
    0.00306796000000009 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 16367.028365683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93895172-1.94201968) × cos(0.57578823) × R
    0.00306796000000009 × 0.838763374870166 × 6371000     		du = 16394.4464128038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57835937)-sin(0.57578823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.838763374870166)×R²
    abs(1.94201968-1.93895172)×0.00140274658602679×R²
    0.00306796000000009×0.00140274658602679×6371000²
    0.00306796000000009×0.00140274658602679×40589641000000     		ar = 268328632.354855m²