Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1656 / 2958
↖ ↑ ↗
← S 62.186014°
W 34.453125°		 ← 4 560.10 m → S 62.186014°
W 34.365234°		 →
↑
4 556.99 m
↓
↑
4 556.99 m
↓
S 62.226996°
W 34.453125°		 ← 4 553.92 m →
20 766 221 m²		 S 62.226996°
W 34.365234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4044189453125 y=0.7222900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4044189453125 × 212)
    floor (0.4044189453125 × 4096)
    floor (1656.5)     		tx = 1656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7222900390625 × 212)
    floor (0.7222900390625 × 4096)
    floor (2958.5)     		ty = 2958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1656 / 2958 ti = "12/1656/2958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1656/2958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1656 ÷ 212
    1656 ÷ 4096     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2958 ÷ 212
    2958 ÷ 4096     		y = 0.72216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72216796875 × 2 - 1) × π
    -0.4443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39592251693604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39592251693604))-π/2
    2×atan(0.247604511619053)-π/2
    2×0.242722818157328-π/2
    0.485445636314655-1.57079632675     		φ = -1.08535069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08535069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.186014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1656 KachelY 2958 -0.60132047 -1.08535069 -34.453125 -62.186014
    Oben rechts KachelX + 1 1657 KachelY 2958 -0.59978649 -1.08535069 -34.365234 -62.186014
    Unten links KachelX 1656 KachelY + 1 2959 -0.60132047 -1.08606596 -34.453125 -62.226996
    Unten rechts KachelX + 1 1657 KachelY + 1 2959 -0.59978649 -1.08606596 -34.365234 -62.226996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08535069--1.08606596) × R
    0.000715269999999935 × 6371000     		dl = 4556.98516999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08535069--1.08606596) × R
    0.000715269999999935 × 6371000     		dr = 4556.98516999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.59978649) × cos(-1.08535069) × R
    0.00153398000000005 × 0.46660255685181 × 6371000     		do = 4560.10052630656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.59978649) × cos(-1.08606596) × R
    0.00153398000000005 × 0.465969804762405 × 6371000     		du = 4553.91664862834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08535069)-sin(-1.08606596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46660255685181-0.465969804762405)×R²
    abs(-0.59978649--0.60132047)×0.000632752089404498×R²
    0.00153398000000005×0.000632752089404498×6371000²
    0.00153398000000005×0.000632752089404498×40589641000000     		ar = 20766221.4380041m²