Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16555 / 50005
↖ ↑ ↗
← N 39.187562°
W134.530334°		 ← 236.73 m → N 39.187562°
W134.527588°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
N 39.185433°
W134.530334°		 ← 236.74 m →
56 031 m²		 N 39.185433°
W134.527588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126308441162109 y=0.381511688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126308441162109 × 217)
    floor (0.126308441162109 × 131072)
    floor (16555.5)     		tx = 16555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381511688232422 × 217)
    floor (0.381511688232422 × 131072)
    floor (50005.5)     		ty = 50005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16555 / 50005 ti = "17/16555/50005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16555/50005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16555 ÷ 217
    16555 ÷ 131072     		x = 0.126304626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50005 ÷ 217
    50005 ÷ 131072     		y = 0.381507873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126304626464844 × 2 - 1) × π
    -0.747390747070312 × 3.1415926535     		Λ = -2.34799728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381507873535156 × 2 - 1) × π
    0.236984252929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.744507987999092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34799728} λ = -2.34799728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744507987999092))-π/2
    2×atan(2.10540529543296)-π/2
    2×1.12737415499773-π/2
    2.25474830999546-1.57079632675     		φ = 0.68395198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34799728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.530334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68395198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.187562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16555 KachelY 50005 -2.34799728 0.68395198 -134.530334 39.187562
    Oben rechts KachelX + 1 16556 KachelY 50005 -2.34794934 0.68395198 -134.527588 39.187562
    Unten links KachelX 16555 KachelY + 1 50006 -2.34799728 0.68391483 -134.530334 39.185433
    Unten rechts KachelX + 1 16556 KachelY + 1 50006 -2.34794934 0.68391483 -134.527588 39.185433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68395198-0.68391483) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dl = 236.682650000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68395198-0.68391483) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dr = 236.682650000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34799728--2.34794934) × cos(0.68395198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775081675650129 × 6371000     		do = 236.729894345726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34799728--2.34794934) × cos(0.68391483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775105148753559 × 6371000     		du = 236.737063635711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68395198)-sin(0.68391483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775081675650129-0.775105148753559)×R²
    abs(-2.34794934--2.34799728)×2.34731034295388e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34731034295388e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34731034295388e-05×40589641000000     		ar = 56030.707157711m²