Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16554 / 16010
↖ ↑ ↗
← N 79.362632°
W134.533081°		 ← 56.38 m → N 79.362632°
W134.530334°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.362125°
W134.533081°		 ← 56.38 m →
3 179 m²		 N 79.362125°
W134.530334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126300811767578 y=0.122150421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126300811767578 × 217)
    floor (0.126300811767578 × 131072)
    floor (16554.5)     		tx = 16554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122150421142578 × 217)
    floor (0.122150421142578 × 131072)
    floor (16010.5)     		ty = 16010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16554 / 16010 ti = "17/16554/16010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16554/16010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16554 ÷ 217
    16554 ÷ 131072     		x = 0.126296997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16010 ÷ 217
    16010 ÷ 131072     		y = 0.122146606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126296997070312 × 2 - 1) × π
    -0.747406005859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34804522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122146606445312 × 2 - 1) × π
    0.755706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3741228905829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34804522} λ = -2.34804522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3741228905829))-π/2
    2×atan(10.7415875054484)-π/2
    2×1.47796777903452-π/2
    2.95593555806904-1.57079632675     		φ = 1.38513923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34804522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.533081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38513923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.362632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16554 KachelY 16010 -2.34804522 1.38513923 -134.533081 79.362632
    Oben rechts KachelX + 1 16555 KachelY 16010 -2.34799728 1.38513923 -134.530334 79.362632
    Unten links KachelX 16554 KachelY + 1 16011 -2.34804522 1.38513038 -134.533081 79.362125
    Unten rechts KachelX + 1 16555 KachelY + 1 16011 -2.34799728 1.38513038 -134.530334 79.362125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38513923-1.38513038) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38513923-1.38513038) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34804522--2.34799728) × cos(1.38513923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184592378029572 × 6371000     		do = 56.3792636580049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34804522--2.34799728) × cos(1.38513038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184601075936578 × 6371000     		du = 56.3819202226886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38513923)-sin(1.38513038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184592378029572-0.184601075936578)×R²
    abs(-2.34799728--2.34804522)×8.69790700561146e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69790700561146e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69790700561146e-06×40589641000000     		ar = 3178.92664855171m²