Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16551 / 16007
↖ ↑ ↗
← N 79.364153°
W134.541321°		 ← 56.37 m → N 79.364153°
W134.538574°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.363646°
W134.541321°		 ← 56.37 m →
3 178 m²		 N 79.363646°
W134.538574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126277923583984 y=0.122127532958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126277923583984 × 217)
    floor (0.126277923583984 × 131072)
    floor (16551.5)     		tx = 16551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122127532958984 × 217)
    floor (0.122127532958984 × 131072)
    floor (16007.5)     		ty = 16007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16551 / 16007 ti = "17/16551/16007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16551/16007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16551 ÷ 217
    16551 ÷ 131072     		x = 0.126274108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16007 ÷ 217
    16007 ÷ 131072     		y = 0.122123718261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126274108886719 × 2 - 1) × π
    -0.747451782226562 × 3.1415926535     		Λ = -2.34818903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122123718261719 × 2 - 1) × π
    0.755752563476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.37426670128176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34818903} λ = -2.34818903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37426670128176))-π/2
    2×atan(10.7431323717359)-π/2
    2×1.47798105127591-π/2
    2.95596210255182-1.57079632675     		φ = 1.38516578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34818903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.541321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38516578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.364153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16551 KachelY 16007 -2.34818903 1.38516578 -134.541321 79.364153
    Oben rechts KachelX + 1 16552 KachelY 16007 -2.34814109 1.38516578 -134.538574 79.364153
    Unten links KachelX 16551 KachelY + 1 16008 -2.34818903 1.38515693 -134.541321 79.363646
    Unten rechts KachelX + 1 16552 KachelY + 1 16008 -2.34814109 1.38515693 -134.538574 79.363646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38516578-1.38515693) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38516578-1.38515693) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34818903--2.34814109) × cos(1.38516578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184566284221812 × 6371000     		do = 56.3712939374602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34818903--2.34814109) × cos(1.38515693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184574982172189 × 6371000     		du = 56.3739505153906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38516578)-sin(1.38515693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184566284221812-0.184574982172189)×R²
    abs(-2.34814109--2.34818903)×8.69795037680698e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69795037680698e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69795037680698e-06×40589641000000     		ar = 3178.47728950862m²