Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16548 / 50012
↖ ↑ ↗
← N 39.172659°
W134.549561°		 ← 236.78 m → N 39.172659°
W134.546814°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
N 39.170530°
W134.549561°		 ← 236.79 m →
56 058 m²		 N 39.170530°
W134.546814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126255035400391 y=0.381565093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126255035400391 × 217)
    floor (0.126255035400391 × 131072)
    floor (16548.5)     		tx = 16548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381565093994141 × 217)
    floor (0.381565093994141 × 131072)
    floor (50012.5)     		ty = 50012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16548 / 50012 ti = "17/16548/50012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16548/50012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16548 ÷ 217
    16548 ÷ 131072     		x = 0.126251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50012 ÷ 217
    50012 ÷ 131072     		y = 0.381561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.74749755859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34833284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381561279296875 × 2 - 1) × π
    0.23687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.744172429701752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34833284} λ = -2.34833284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744172429701752))-π/2
    2×atan(2.10469892773721)-π/2
    2×1.12724409866866-π/2
    2.25448819733731-1.57079632675     		φ = 0.68369187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34833284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.549561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68369187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.172659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16548 KachelY 50012 -2.34833284 0.68369187 -134.549561 39.172659
    Oben rechts KachelX + 1 16549 KachelY 50012 -2.34828490 0.68369187 -134.546814 39.172659
    Unten links KachelX 16548 KachelY + 1 50013 -2.34833284 0.68365471 -134.549561 39.170530
    Unten rechts KachelX + 1 16549 KachelY + 1 50013 -2.34828490 0.68365471 -134.546814 39.170530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68369187-0.68365471) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dl = 236.746359999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68369187-0.68365471) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dr = 236.746359999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34833284--2.34828490) × cos(0.68369187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775246002808028 × 6371000     		do = 236.780084089529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34833284--2.34828490) × cos(0.68365471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775269474737175 × 6371000     		du = 236.787253020858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68369187)-sin(0.68365471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775246002808028-0.775269474737175)×R²
    abs(-2.34828490--2.34833284)×2.34719291469787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34719291469787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34719291469787e-05×40589641000000     		ar = 56057.6716444168m²