Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1654 / 3191
↖ ↑ ↗
← S 70.348317°
W 34.628906°		 ← 3 286.67 m → S 70.348317°
W 34.541016°		 →
↑
3 284.31 m
↓
↑
3 284.31 m
↓
S 70.377854°
W 34.628906°		 ← 3 281.92 m →
10 786 656 m²		 S 70.377854°
W 34.541016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4039306640625 y=0.7791748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4039306640625 × 212)
    floor (0.4039306640625 × 4096)
    floor (1654.5)     		tx = 1654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7791748046875 × 212)
    floor (0.7791748046875 × 4096)
    floor (3191.5)     		ty = 3191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1654 / 3191 ti = "12/1654/3191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1654/3191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1654 ÷ 212
    1654 ÷ 4096     		x = 0.40380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3191 ÷ 212
    3191 ÷ 4096     		y = 0.779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60438843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75334004050317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60438843} λ = -0.60438843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75334004050317))-π/2
    2×atan(0.173194499662468)-π/2
    2×0.171493281076931-π/2
    0.342986562153863-1.57079632675     		φ = -1.22780976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60438843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.628906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22780976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.348317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1654 KachelY 3191 -0.60438843 -1.22780976 -34.628906 -70.348317
    Oben rechts KachelX + 1 1655 KachelY 3191 -0.60285445 -1.22780976 -34.541016 -70.348317
    Unten links KachelX 1654 KachelY + 1 3192 -0.60438843 -1.22832527 -34.628906 -70.377854
    Unten rechts KachelX + 1 1655 KachelY + 1 3192 -0.60285445 -1.22832527 -34.541016 -70.377854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22780976--1.22832527) × R
    0.000515510000000052 × 6371000     		dl = 3284.31421000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22780976--1.22832527) × R
    0.000515510000000052 × 6371000     		dr = 3284.31421000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60438843--0.60285445) × cos(-1.22780976) × R
    0.00153397999999993 × 0.336301200453459 × 6371000     		do = 3286.6671188694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60438843--0.60285445) × cos(-1.22832527) × R
    0.00153397999999993 × 0.335815671936321 × 6371000     		du = 3281.92205518721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22780976)-sin(-1.22832527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336301200453459-0.335815671936321)×R²
    abs(-0.60285445--0.60438843)×0.000485528517137235×R²
    0.00153397999999993×0.000485528517137235×6371000²
    0.00153397999999993×0.000485528517137235×40589641000000     		ar = 10786655.6208862m²