Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16534 / 19014
↖ ↑ ↗
← S 27.741885°
E  1.647949°		 ← 1 081.22 m → S 27.741885°
E  1.658936°		 →
↑
1 081.16 m
↓
↑
1 081.16 m
↓
S 27.751608°
E  1.647949°		 ← 1 081.12 m →
1 168 914 m²		 S 27.751608°
E  1.658936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504592895507812 y=0.580276489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504592895507812 × 215)
    floor (0.504592895507812 × 32768)
    floor (16534.5)     		tx = 16534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580276489257812 × 215)
    floor (0.580276489257812 × 32768)
    floor (19014.5)     		ty = 19014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16534 / 19014 ti = "15/16534/19014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16534/19014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16534 ÷ 215
    16534 ÷ 32768     		x = 0.50457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19014 ÷ 215
    19014 ÷ 32768     		y = 0.58026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50457763671875 × 2 - 1) × π
    0.0091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02876214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.1605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.504296184002991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02876214} λ = 0.02876214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504296184002991))-π/2
    2×atan(0.603930481815727)-π/2
    2×0.543304549630994-π/2
    1.08660909926199-1.57079632675     		φ = -0.48418723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02876214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.647949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48418723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.741885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16534 KachelY 19014 0.02876214 -0.48418723 1.647949 -27.741885
    Oben rechts KachelX + 1 16535 KachelY 19014 0.02895389 -0.48418723 1.658936 -27.741885
    Unten links KachelX 16534 KachelY + 1 19015 0.02876214 -0.48435693 1.647949 -27.751608
    Unten rechts KachelX + 1 16535 KachelY + 1 19015 0.02895389 -0.48435693 1.658936 -27.751608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48418723--0.48435693) × R
    0.000169699999999995 × 6371000     		dl = 1081.15869999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48418723--0.48435693) × R
    0.000169699999999995 × 6371000     		dr = 1081.15869999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02876214-0.02895389) × cos(-0.48418723) × R
    0.000191750000000001 × 0.885053577029178 × 6371000     		do = 1081.21618805175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02876214-0.02895389) × cos(-0.48435693) × R
    0.000191750000000001 × 0.884974570773774 × 6371000     		du = 1081.11967090915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48418723)-sin(-0.48435693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885053577029178-0.884974570773774)×R²
    abs(0.02895389-0.02876214)×7.9006255404579e-05×R²
    0.000191750000000001×7.9006255404579e-05×6371000²
    0.000191750000000001×7.9006255404579e-05×40589641000000     		ar = 1168914.11592393m²