Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16533 / 19017
↖ ↑ ↗
← S 27.771051°
E  1.636963°		 ← 1 080.93 m → S 27.771051°
E  1.647949°		 →
↑
1 080.84 m
↓
↑
1 080.84 m
↓
S 27.780771°
E  1.636963°		 ← 1 080.83 m →
1 168 257 m²		 S 27.780771°
E  1.647949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504562377929688 y=0.580368041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504562377929688 × 215)
    floor (0.504562377929688 × 32768)
    floor (16533.5)     		tx = 16533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580368041992188 × 215)
    floor (0.580368041992188 × 32768)
    floor (19017.5)     		ty = 19017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16533 / 19017 ti = "15/16533/19017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16533/19017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16533 ÷ 215
    16533 ÷ 32768     		x = 0.504547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19017 ÷ 215
    19017 ÷ 32768     		y = 0.580352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504547119140625 × 2 - 1) × π
    0.00909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02857039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.16070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.504871426798431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02857039} λ = 0.02857039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504871426798431))-π/2
    2×atan(0.603583175059547)-π/2
    2×0.543050023373454-π/2
    1.08610004674691-1.57079632675     		φ = -0.48469628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02857039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.636963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48469628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.771051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16533 KachelY 19017 0.02857039 -0.48469628 1.636963 -27.771051
    Oben rechts KachelX + 1 16534 KachelY 19017 0.02876214 -0.48469628 1.647949 -27.771051
    Unten links KachelX 16533 KachelY + 1 19018 0.02857039 -0.48486593 1.636963 -27.780771
    Unten rechts KachelX + 1 16534 KachelY + 1 19018 0.02876214 -0.48486593 1.647949 -27.780771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48469628--0.48486593) × R
    0.000169650000000021 × 6371000     		dl = 1080.84015000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48469628--0.48486593) × R
    0.000169650000000021 × 6371000     		dr = 1080.84015000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02857039-0.02876214) × cos(-0.48469628) × R
    0.000191749999999997 × 0.884816505105492 × 6371000     		do = 1080.92657168468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02857039-0.02876214) × cos(-0.48486593) × R
    0.000191749999999997 × 0.88473744571218 × 6371000     		du = 1080.82998962673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48469628)-sin(-0.48486593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884816505105492-0.88473744571218)×R²
    abs(0.02876214-0.02857039)×7.90593933119865e-05×R²
    0.000191749999999997×7.90593933119865e-05×6371000²
    0.000191749999999997×7.90593933119865e-05×40589641000000     		ar = 1168256.64579771m²