Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16525 / 9323
↖ ↑ ↗
← N 61.042332°
E  1.549072°		 ← 591.47 m → N 61.042332°
E  1.560059°		 →
↑
591.48 m
↓
↑
591.48 m
↓
N 61.037012°
E  1.549072°		 ← 591.57 m →
349 876 m²		 N 61.037012°
E  1.560059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504318237304688 y=0.284530639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504318237304688 × 215)
    floor (0.504318237304688 × 32768)
    floor (16525.5)     		tx = 16525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284530639648438 × 215)
    floor (0.284530639648438 × 32768)
    floor (9323.5)     		ty = 9323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16525 / 9323 ti = "15/16525/9323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16525/9323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16525 ÷ 215
    16525 ÷ 32768     		x = 0.504302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9323 ÷ 215
    9323 ÷ 32768     		y = 0.284515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504302978515625 × 2 - 1) × π
    0.00860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02703641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.284515380859375 × 2 - 1) × π
    0.43096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.35392979286887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02703641} λ = 0.02703641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35392979286887))-π/2
    2×atan(3.87261423873101)-π/2
    2×1.3180930003742-π/2
    2.63618600074841-1.57079632675     		φ = 1.06538967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02703641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.549072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06538967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.042332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16525 KachelY 9323 0.02703641 1.06538967 1.549072 61.042332
    Oben rechts KachelX + 1 16526 KachelY 9323 0.02722816 1.06538967 1.560059 61.042332
    Unten links KachelX 16525 KachelY + 1 9324 0.02703641 1.06529683 1.549072 61.037012
    Unten rechts KachelX + 1 16526 KachelY + 1 9324 0.02722816 1.06529683 1.560059 61.037012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06538967-1.06529683) × R
    9.28399999999829e-05 × 6371000     		dl = 591.483639999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06538967-1.06529683) × R
    9.28399999999829e-05 × 6371000     		dr = 591.483639999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02703641-0.02722816) × cos(1.06538967) × R
    0.000191750000000001 × 0.48416329595734 × 6371000     		do = 591.472885750855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02703641-0.02722816) × cos(1.06529683) × R
    0.000191750000000001 × 0.484244526796471 × 6371000     		du = 591.572120532248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06538967)-sin(1.06529683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48416329595734-0.484244526796471)×R²
    abs(0.02722816-0.02703641)×8.12308391309746e-05×R²
    0.000191750000000001×8.12308391309746e-05×6371000²
    0.000191750000000001×8.12308391309746e-05×40589641000000     		ar = 349875.883551316m²