Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16525 / 9322
↖ ↑ ↗
← N 61.047650°
E  1.549072°		 ← 591.37 m → N 61.047650°
E  1.560059°		 →
↑
591.42 m
↓
↑
591.42 m
↓
N 61.042332°
E  1.549072°		 ← 591.47 m →
349 780 m²		 N 61.042332°
E  1.560059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504318237304688 y=0.284500122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504318237304688 × 215)
    floor (0.504318237304688 × 32768)
    floor (16525.5)     		tx = 16525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284500122070312 × 215)
    floor (0.284500122070312 × 32768)
    floor (9322.5)     		ty = 9322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16525 / 9322 ti = "15/16525/9322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16525/9322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16525 ÷ 215
    16525 ÷ 32768     		x = 0.504302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9322 ÷ 215
    9322 ÷ 32768     		y = 0.28448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504302978515625 × 2 - 1) × π
    0.00860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02703641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28448486328125 × 2 - 1) × π
    0.4310302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.35412154046735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02703641} λ = 0.02703641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35412154046735))-π/2
    2×atan(3.87335687440815)-π/2
    2×1.31813941505472-π/2
    2.63627883010945-1.57079632675     		φ = 1.06548250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02703641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.549072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06548250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.047650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16525 KachelY 9322 0.02703641 1.06548250 1.549072 61.047650
    Oben rechts KachelX + 1 16526 KachelY 9322 0.02722816 1.06548250 1.560059 61.047650
    Unten links KachelX 16525 KachelY + 1 9323 0.02703641 1.06538967 1.549072 61.042332
    Unten rechts KachelX + 1 16526 KachelY + 1 9323 0.02722816 1.06538967 1.560059 61.042332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06548250-1.06538967) × R
    9.28300000000437e-05 × 6371000     		dl = 591.419930000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06548250-1.06538967) × R
    9.28300000000437e-05 × 6371000     		dr = 591.419930000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02703641-0.02722816) × cos(1.06548250) × R
    0.000191750000000001 × 0.484082069695303 × 6371000     		do = 591.37365656102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02703641-0.02722816) × cos(1.06538967) × R
    0.000191750000000001 × 0.48416329595734 × 6371000     		du = 591.472885750855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06548250)-sin(1.06538967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.484082069695303-0.48416329595734)×R²
    abs(0.02722816-0.02703641)×8.1226262037104e-05×R²
    0.000191750000000001×8.1226262037104e-05×6371000²
    0.000191750000000001×8.1226262037104e-05×40589641000000     		ar = 349779.509878524m²