Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16524 / 9324
↖ ↑ ↗
← N 61.037012°
E  1.538086°		 ← 591.57 m → N 61.037012°
E  1.549072°		 →
↑
591.61 m
↓
↑
591.61 m
↓
N 61.031692°
E  1.538086°		 ← 591.67 m →
350 010 m²		 N 61.031692°
E  1.549072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504287719726562 y=0.284561157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504287719726562 × 215)
    floor (0.504287719726562 × 32768)
    floor (16524.5)     		tx = 16524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284561157226562 × 215)
    floor (0.284561157226562 × 32768)
    floor (9324.5)     		ty = 9324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16524 / 9324 ti = "15/16524/9324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16524/9324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16524 ÷ 215
    16524 ÷ 32768     		x = 0.5042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9324 ÷ 215
    9324 ÷ 32768     		y = 0.2845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2845458984375 × 2 - 1) × π
    0.430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.35373804527039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02684466} λ = 0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35373804527039))-π/2
    2×atan(3.87187174543882)-π/2
    2×1.31804657790581-π/2
    2.63609315581163-1.57079632675     		φ = 1.06529683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06529683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.037012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16524 KachelY 9324 0.02684466 1.06529683 1.538086 61.037012
    Oben rechts KachelX + 1 16525 KachelY 9324 0.02703641 1.06529683 1.549072 61.037012
    Unten links KachelX 16524 KachelY + 1 9325 0.02684466 1.06520397 1.538086 61.031692
    Unten rechts KachelX + 1 16525 KachelY + 1 9325 0.02703641 1.06520397 1.549072 61.031692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06529683-1.06520397) × R
    9.28600000000834e-05 × 6371000     		dl = 591.611060000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06529683-1.06520397) × R
    9.28600000000834e-05 × 6371000     		dr = 591.611060000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02684466-0.02703641) × cos(1.06529683) × R
    0.000191750000000001 × 0.484244526796471 × 6371000     		do = 591.572120532248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02684466-0.02703641) × cos(1.06520397) × R
    0.000191750000000001 × 0.484325770959524 × 6371000     		du = 591.671371590668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06529683)-sin(1.06520397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.484244526796471-0.484325770959524)×R²
    abs(0.02703641-0.02684466)×8.12441630537175e-05×R²
    0.000191750000000001×8.12441630537175e-05×6371000²
    0.000191750000000001×8.12441630537175e-05×40589641000000     		ar = 350009.968558161m²