Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16523 / 19007
↖ ↑ ↗
← S 27.673799°
E  1.527100°		 ← 1 081.83 m → S 27.673799°
E  1.538086°		 →
↑
1 081.80 m
↓
↑
1 081.80 m
↓
S 27.683528°
E  1.527100°		 ← 1 081.74 m →
1 170 272 m²		 S 27.683528°
E  1.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504257202148438 y=0.580062866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504257202148438 × 215)
    floor (0.504257202148438 × 32768)
    floor (16523.5)     		tx = 16523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580062866210938 × 215)
    floor (0.580062866210938 × 32768)
    floor (19007.5)     		ty = 19007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16523 / 19007 ti = "15/16523/19007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16523/19007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16523 ÷ 215
    16523 ÷ 32768     		x = 0.504241943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19007 ÷ 215
    19007 ÷ 32768     		y = 0.580047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504241943359375 × 2 - 1) × π
    0.00848388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02665292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580047607421875 × 2 - 1) × π
    -0.16009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.502953950813629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02665292} λ = 0.02665292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502953950813629))-π/2
    2×atan(0.604741641613507)-π/2
    2×0.543898709229367-π/2
    1.08779741845873-1.57079632675     		φ = -0.48299891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02665292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.527100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48299891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.673799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16523 KachelY 19007 0.02665292 -0.48299891 1.527100 -27.673799
    Oben rechts KachelX + 1 16524 KachelY 19007 0.02684466 -0.48299891 1.538086 -27.673799
    Unten links KachelX 16523 KachelY + 1 19008 0.02665292 -0.48316871 1.527100 -27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 16524 KachelY + 1 19008 0.02684466 -0.48316871 1.538086 -27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48299891--0.48316871) × R
    0.000169799999999998 × 6371000     		dl = 1081.79579999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48299891--0.48316871) × R
    0.000169799999999998 × 6371000     		dr = 1081.79579999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02665292-0.02684466) × cos(-0.48299891) × R
    0.000191739999999999 × 0.885606102093485 × 6371000     		do = 1081.83475239214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02665292-0.02684466) × cos(-0.48316871) × R
    0.000191739999999999 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 1081.73840161295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48299891)-sin(-0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885606102093485-0.885527227905161)×R²
    abs(0.02684466-0.02665292)×7.88741883241961e-05×R²
    0.000191739999999999×7.88741883241961e-05×6371000²
    0.000191739999999999×7.88741883241961e-05×40589641000000     		ar = 1170272.17830942m²