Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1652 / 814
↖ ↑ ↗
← N 34.597042°
E110.390625°		 ← 16.090 km → N 34.597042°
E110.566406°		 →
↑
16.104 km
↓
↑
16.104 km
↓
N 34.452219°
E110.390625°		 ← 16.118 km →
259.326 km²		 N 34.452219°
E110.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806884765625 y=0.397705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806884765625 × 211)
    floor (0.806884765625 × 2048)
    floor (1652.5)     		tx = 1652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.397705078125 × 211)
    floor (0.397705078125 × 2048)
    floor (814.5)     		ty = 814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1652 / 814 ti = "11/1652/814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1652/814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1652 ÷ 211
    1652 ÷ 2048     		x = 0.806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 814 ÷ 211
    814 ÷ 2048     		y = 0.3974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806640625 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92667987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3974609375 × 2 - 1) × π
    0.205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.644271930893555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92667987} λ = 1.92667987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.644271930893555))-π/2
    2×atan(1.90459984404326)-π/2
    2×1.08731430634281-π/2
    2.17462861268563-1.57079632675     		φ = 0.60383229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92667987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60383229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.597042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1652 KachelY 814 1.92667987 0.60383229 110.390625 34.597042
    Oben rechts KachelX + 1 1653 KachelY 814 1.92974783 0.60383229 110.566406 34.597042
    Unten links KachelX 1652 KachelY + 1 815 1.92667987 0.60130465 110.390625 34.452219
    Unten rechts KachelX + 1 1653 KachelY + 1 815 1.92974783 0.60130465 110.566406 34.452219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60383229-0.60130465) × R
    0.00252764000000005 × 6371000     		dl = 16103.5944400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60383229-0.60130465) × R
    0.00252764000000005 × 6371000     		dr = 16103.5944400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92667987-1.92974783) × cos(0.60383229) × R
    0.00306795999999987 × 0.823165685885591 × 6371000     		do = 16089.5744025521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92667987-1.92974783) × cos(0.60130465) × R
    0.00306795999999987 × 0.824598251909172 × 6371000     		du = 16117.5752995989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60383229)-sin(0.60130465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823165685885591-0.824598251909172)×R²
    abs(1.92974783-1.92667987)×0.00143256602358011×R²
    0.00306795999999987×0.00143256602358011×6371000²
    0.00306795999999987×0.00143256602358011×40589641000000     		ar = 259325576.504402m²