Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16519 / 9309
↖ ↑ ↗
← N 61.116713°
E  1.483155°		 ← 590.05 m → N 61.116713°
E  1.494140°		 →
↑
590.15 m
↓
↑
590.15 m
↓
N 61.111406°
E  1.483155°		 ← 590.15 m →
348 247 m²		 N 61.111406°
E  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504135131835938 y=0.284103393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504135131835938 × 215)
    floor (0.504135131835938 × 32768)
    floor (16519.5)     		tx = 16519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284103393554688 × 215)
    floor (0.284103393554688 × 32768)
    floor (9309.5)     		ty = 9309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16519 / 9309 ti = "15/16519/9309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16519/9309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16519 ÷ 215
    16519 ÷ 32768     		x = 0.504119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9309 ÷ 215
    9309 ÷ 32768     		y = 0.284088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504119873046875 × 2 - 1) × π
    0.00823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02588593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.284088134765625 × 2 - 1) × π
    0.43182373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.35661425924759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02588593} λ = 0.02588593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35661425924759))-π/2
    2×atan(3.8830241076728)-π/2
    2×1.31874209761798-π/2
    2.63748419523596-1.57079632675     		φ = 1.06668787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02588593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.483155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06668787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.116713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16519 KachelY 9309 0.02588593 1.06668787 1.483155 61.116713
    Oben rechts KachelX + 1 16520 KachelY 9309 0.02607767 1.06668787 1.494140 61.116713
    Unten links KachelX 16519 KachelY + 1 9310 0.02588593 1.06659524 1.483155 61.111406
    Unten rechts KachelX + 1 16520 KachelY + 1 9310 0.02607767 1.06659524 1.494140 61.111406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06668787-1.06659524) × R
    9.26299999999269e-05 × 6371000     		dl = 590.145729999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06668787-1.06659524) × R
    9.26299999999269e-05 × 6371000     		dr = 590.145729999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02588593-0.02607767) × cos(1.06668787) × R
    0.000191739999999999 × 0.483026992294383 × 6371000     		do = 590.053958946585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02588593-0.02607767) × cos(1.06659524) × R
    0.000191739999999999 × 0.48310809755593 × 6371000     		du = 590.153035150256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06668787)-sin(1.06659524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483026992294383-0.48310809755593)×R²
    abs(0.02607767-0.02588593)×8.1105261547143e-05×R²
    0.000191739999999999×8.1105261547143e-05×6371000²
    0.000191739999999999×8.1105261547143e-05×40589641000000     		ar = 348247.059289926m²