Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16518 / 9310
↖ ↑ ↗
← N 61.111406°
E  1.472168°		 ← 590.18 m → N 61.111406°
E  1.483155°		 →
↑
590.21 m
↓
↑
590.21 m
↓
N 61.106098°
E  1.472168°		 ← 590.28 m →
348 361 m²		 N 61.106098°
E  1.483155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504104614257812 y=0.284133911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504104614257812 × 215)
    floor (0.504104614257812 × 32768)
    floor (16518.5)     		tx = 16518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284133911132812 × 215)
    floor (0.284133911132812 × 32768)
    floor (9310.5)     		ty = 9310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16518 / 9310 ti = "15/16518/9310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16518/9310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16518 ÷ 215
    16518 ÷ 32768     		x = 0.50408935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9310 ÷ 215
    9310 ÷ 32768     		y = 0.28411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50408935546875 × 2 - 1) × π
    0.0081787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02569418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28411865234375 × 2 - 1) × π
    0.4317626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.35642251164911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02569418} λ = 0.02569418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35642251164911))-π/2
    2×atan(3.8822796185046)-π/2
    2×1.31869578409723-π/2
    2.63739156819445-1.57079632675     		φ = 1.06659524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02569418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06659524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.111406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16518 KachelY 9310 0.02569418 1.06659524 1.472168 61.111406
    Oben rechts KachelX + 1 16519 KachelY 9310 0.02588593 1.06659524 1.483155 61.111406
    Unten links KachelX 16518 KachelY + 1 9311 0.02569418 1.06650260 1.472168 61.106098
    Unten rechts KachelX + 1 16519 KachelY + 1 9311 0.02588593 1.06650260 1.483155 61.106098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06659524-1.06650260) × R
    9.26400000000882e-05 × 6371000     		dl = 590.209440000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06659524-1.06650260) × R
    9.26400000000882e-05 × 6371000     		dr = 590.209440000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02569418-0.02588593) × cos(1.06659524) × R
    0.000191750000000001 × 0.48310809755593 × 6371000     		do = 590.183813967157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02569418-0.02588593) × cos(1.06650260) × R
    0.000191750000000001 × 0.483189207427417 × 6371000     		du = 590.282900969727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06659524)-sin(1.06650260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48310809755593-0.483189207427417)×R²
    abs(0.02588593-0.02569418)×8.11098714862957e-05×R²
    0.000191750000000001×8.11098714862957e-05×6371000²
    0.000191750000000001×8.11098714862957e-05×40589641000000     		ar = 348361.299630585m²