Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16515 / 16750
↖ ↑ ↗
← N 78.980839°
W134.640198°		 ← 58.38 m → N 78.980839°
W134.637451°		 →
↑
58.36 m
↓
↑
58.36 m
↓
N 78.980314°
W134.640198°		 ← 58.38 m →
3 407 m²		 N 78.980314°
W134.637451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126003265380859 y=0.127796173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126003265380859 × 217)
    floor (0.126003265380859 × 131072)
    floor (16515.5)     		tx = 16515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127796173095703 × 217)
    floor (0.127796173095703 × 131072)
    floor (16750.5)     		ty = 16750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16515 / 16750 ti = "17/16515/16750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16515/16750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16515 ÷ 217
    16515 ÷ 131072     		x = 0.125999450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16750 ÷ 217
    16750 ÷ 131072     		y = 0.127792358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125999450683594 × 2 - 1) × π
    -0.748001098632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.34991476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127792358398438 × 2 - 1) × π
    0.744415283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33864958486406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34991476} λ = -2.34991476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33864958486406))-π/2
    2×atan(10.367227045209)-π/2
    2×1.4746360107233-π/2
    2.9492720214466-1.57079632675     		φ = 1.37847569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34991476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.640198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37847569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.980839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16515 KachelY 16750 -2.34991476 1.37847569 -134.640198 78.980839
    Oben rechts KachelX + 1 16516 KachelY 16750 -2.34986682 1.37847569 -134.637451 78.980839
    Unten links KachelX 16515 KachelY + 1 16751 -2.34991476 1.37846653 -134.640198 78.980314
    Unten rechts KachelX + 1 16516 KachelY + 1 16751 -2.34986682 1.37846653 -134.637451 78.980314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37847569-1.37846653) × R
    9.15999999984152e-06 × 6371000     		dl = 58.3583599989903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37847569-1.37846653) × R
    9.15999999984152e-06 × 6371000     		dr = 58.3583599989903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34991476--2.34986682) × cos(1.37847569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191137259555952 × 6371000     		do = 58.3782389414103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34991476--2.34986682) × cos(1.37846653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191146250667929 × 6371000     		du = 58.3809850584395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37847569)-sin(1.37846653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191137259555952-0.191146250667929)×R²
    abs(-2.34986682--2.34991476)×8.99111197741331e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.99111197741331e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.99111197741331e-06×40589641000000     		ar = 3406.93841383436m²