Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16513 / 16261
↖ ↑ ↗
← N 79.234620°
W134.645691°		 ← 57.05 m → N 79.234620°
W134.642944°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.234107°
W134.645691°		 ← 57.05 m →
3 253 m²		 N 79.234107°
W134.642944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125988006591797 y=0.124065399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125988006591797 × 217)
    floor (0.125988006591797 × 131072)
    floor (16513.5)     		tx = 16513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124065399169922 × 217)
    floor (0.124065399169922 × 131072)
    floor (16261.5)     		ty = 16261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16513 / 16261 ti = "17/16513/16261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16513/16261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16513 ÷ 217
    16513 ÷ 131072     		x = 0.125984191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16261 ÷ 217
    16261 ÷ 131072     		y = 0.124061584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125984191894531 × 2 - 1) × π
    -0.748031616210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.35001063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124061584472656 × 2 - 1) × π
    0.751876831054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.36209072877827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35001063} λ = -2.35001063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36209072877827))-π/2
    2×atan(10.6131174228665)-π/2
    2×1.4768506651468-π/2
    2.95370133029359-1.57079632675     		φ = 1.38290500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35001063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.645691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38290500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.234620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16513 KachelY 16261 -2.35001063 1.38290500 -134.645691 79.234620
    Oben rechts KachelX + 1 16514 KachelY 16261 -2.34996269 1.38290500 -134.642944 79.234620
    Unten links KachelX 16513 KachelY + 1 16262 -2.35001063 1.38289605 -134.645691 79.234107
    Unten rechts KachelX + 1 16514 KachelY + 1 16262 -2.34996269 1.38289605 -134.642944 79.234107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38290500-1.38289605) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38290500-1.38289605) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35001063--2.34996269) × cos(1.38290500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186787750612556 × 6371000     		do = 57.0497869537378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35001063--2.34996269) × cos(1.38289605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186796543087699 × 6371000     		du = 57.052472401965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38290500)-sin(1.38289605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186787750612556-0.186796543087699)×R²
    abs(-2.34996269--2.35001063)×8.7924751435986e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.7924751435986e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7924751435986e-06×40589641000000     		ar = 3253.08108728169m²