Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16513 / 16259
↖ ↑ ↗
← N 79.235646°
W134.645691°		 ← 57.04 m → N 79.235646°
W134.642944°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.235133°
W134.645691°		 ← 57.05 m →
3 253 m²		 N 79.235133°
W134.642944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125988006591797 y=0.124050140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125988006591797 × 217)
    floor (0.125988006591797 × 131072)
    floor (16513.5)     		tx = 16513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124050140380859 × 217)
    floor (0.124050140380859 × 131072)
    floor (16259.5)     		ty = 16259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16513 / 16259 ti = "17/16513/16259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16513/16259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16513 ÷ 217
    16513 ÷ 131072     		x = 0.125984191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16259 ÷ 217
    16259 ÷ 131072     		y = 0.124046325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125984191894531 × 2 - 1) × π
    -0.748031616210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.35001063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124046325683594 × 2 - 1) × π
    0.751907348632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.36218660257751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35001063} λ = -2.35001063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36218660257751))-π/2
    2×atan(10.6141349915339)-π/2
    2×1.47685961875062-π/2
    2.95371923750124-1.57079632675     		φ = 1.38292291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35001063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.645691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38292291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.235646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16513 KachelY 16259 -2.35001063 1.38292291 -134.645691 79.235646
    Oben rechts KachelX + 1 16514 KachelY 16259 -2.34996269 1.38292291 -134.642944 79.235646
    Unten links KachelX 16513 KachelY + 1 16260 -2.35001063 1.38291396 -134.645691 79.235133
    Unten rechts KachelX + 1 16514 KachelY + 1 16260 -2.34996269 1.38291396 -134.642944 79.235133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38292291-1.38291396) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38292291-1.38291396) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35001063--2.34996269) × cos(1.38292291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186770155793346 × 6371000     		do = 57.0444130430606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35001063--2.34996269) × cos(1.38291396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18677894829843 × 6371000     		du = 57.0470985004324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38292291)-sin(1.38291396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186770155793346-0.18677894829843)×R²
    abs(-2.34996269--2.35001063)×8.79250508395435e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.79250508395435e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.79250508395435e-06×40589641000000     		ar = 3252.77466477477m²