Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16510 / 8833
↖ ↑ ↗
← N 63.543658°
E  1.384277°		 ← 544.26 m → N 63.543658°
E  1.395264°		 →
↑
544.27 m
↓
↑
544.27 m
↓
N 63.538763°
E  1.384277°		 ← 544.35 m →
296 252 m²		 N 63.538763°
E  1.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503860473632812 y=0.269577026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503860473632812 × 215)
    floor (0.503860473632812 × 32768)
    floor (16510.5)     		tx = 16510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269577026367188 × 215)
    floor (0.269577026367188 × 32768)
    floor (8833.5)     		ty = 8833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16510 / 8833 ti = "15/16510/8833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16510/8833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16510 ÷ 215
    16510 ÷ 32768     		x = 0.50384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8833 ÷ 215
    8833 ÷ 32768     		y = 0.269561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50384521484375 × 2 - 1) × π
    0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269561767578125 × 2 - 1) × π
    0.46087646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44788611612418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02416020} λ = 0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44788611612418))-π/2
    2×atan(4.25411230430081)-π/2
    2×1.33992118942767-π/2
    2.67984237885535-1.57079632675     		φ = 1.10904605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10904605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.543658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16510 KachelY 8833 0.02416020 1.10904605 1.384277 63.543658
    Oben rechts KachelX + 1 16511 KachelY 8833 0.02435195 1.10904605 1.395264 63.543658
    Unten links KachelX 16510 KachelY + 1 8834 0.02416020 1.10896062 1.384277 63.538763
    Unten rechts KachelX + 1 16511 KachelY + 1 8834 0.02435195 1.10896062 1.395264 63.538763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10904605-1.10896062) × R
    8.54299999999419e-05 × 6371000     		dl = 544.27452999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10904605-1.10896062) × R
    8.54299999999419e-05 × 6371000     		dr = 544.27452999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02416020-0.02435195) × cos(1.10904605) × R
    0.000191750000000001 × 0.445515766047761 × 6371000     		do = 544.259546297765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02416020-0.02435195) × cos(1.10896062) × R
    0.000191750000000001 × 0.445592247687712 × 6371000     		du = 544.352979271033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10904605)-sin(1.10896062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445515766047761-0.445592247687712)×R²
    abs(0.02435195-0.02416020)×7.64816399502766e-05×R²
    0.000191750000000001×7.64816399502766e-05×6371000²
    0.000191750000000001×7.64816399502766e-05×40589641000000     		ar = 296252.035533194m²