Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16508 / 16771
↖ ↑ ↗
← N 78.969810°
W134.659424°		 ← 58.42 m → N 78.969810°
W134.656677°		 →
↑
58.49 m
↓
↑
58.49 m
↓
N 78.969284°
W134.659424°		 ← 58.43 m →
3 417 m²		 N 78.969284°
W134.656677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125949859619141 y=0.127956390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125949859619141 × 217)
    floor (0.125949859619141 × 131072)
    floor (16508.5)     		tx = 16508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127956390380859 × 217)
    floor (0.127956390380859 × 131072)
    floor (16771.5)     		ty = 16771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16508 / 16771 ti = "17/16508/16771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16508/16771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16508 ÷ 217
    16508 ÷ 131072     		x = 0.125946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16771 ÷ 217
    16771 ÷ 131072     		y = 0.127952575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.74810791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35025031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127952575683594 × 2 - 1) × π
    0.744094848632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.33764290997204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35025031} λ = -2.35025031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33764290997204))-π/2
    2×atan(10.3567958693251)-π/2
    2×1.4745397566389-π/2
    2.9490795132778-1.57079632675     		φ = 1.37828319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35025031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.659424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37828319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.969810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16508 KachelY 16771 -2.35025031 1.37828319 -134.659424 78.969810
    Oben rechts KachelX + 1 16509 KachelY 16771 -2.35020238 1.37828319 -134.656677 78.969810
    Unten links KachelX 16508 KachelY + 1 16772 -2.35025031 1.37827401 -134.659424 78.969284
    Unten rechts KachelX + 1 16509 KachelY + 1 16772 -2.35020238 1.37827401 -134.656677 78.969284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37828319-1.37827401) × R
    9.18000000016406e-06 × 6371000     		dl = 58.4857800010452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37828319-1.37827401) × R
    9.18000000016406e-06 × 6371000     		dr = 58.4857800010452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35025031--2.35020238) × cos(1.37828319) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19132620695216 × 6371000     		do = 58.4237589471474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35025031--2.35020238) × cos(1.37827401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191335217357426 × 6371000     		du = 58.4265103827905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37828319)-sin(1.37827401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19132620695216-0.191335217357426)×R²
    abs(-2.35020238--2.35025031)×9.01040526593566e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.01040526593566e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.01040526593566e-06×40589641000000     		ar = 3417.03957270287m²