Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16506 / 16759
↖ ↑ ↗
← N 78.976113°
W134.664917°		 ← 58.40 m → N 78.976113°
W134.662170°		 →
↑
58.36 m
↓
↑
58.36 m
↓
N 78.975589°
W134.664917°		 ← 58.41 m →
3 408 m²		 N 78.975589°
W134.662170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125934600830078 y=0.127864837646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125934600830078 × 217)
    floor (0.125934600830078 × 131072)
    floor (16506.5)     		tx = 16506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127864837646484 × 217)
    floor (0.127864837646484 × 131072)
    floor (16759.5)     		ty = 16759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16506 / 16759 ti = "17/16506/16759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16506/16759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16506 ÷ 217
    16506 ÷ 131072     		x = 0.125930786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16759 ÷ 217
    16759 ÷ 131072     		y = 0.127861022949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125930786132812 × 2 - 1) × π
    -0.748138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35034619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127861022949219 × 2 - 1) × π
    0.744277954101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.33821815276748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35034619} λ = -2.35034619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33821815276748))-π/2
    2×atan(10.3627552554154)-π/2
    2×1.4745947706185-π/2
    2.949189541237-1.57079632675     		φ = 1.37839321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35034619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.664917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37839321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.976113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16506 KachelY 16759 -2.35034619 1.37839321 -134.664917 78.976113
    Oben rechts KachelX + 1 16507 KachelY 16759 -2.35029825 1.37839321 -134.662170 78.976113
    Unten links KachelX 16506 KachelY + 1 16760 -2.35034619 1.37838405 -134.664917 78.975589
    Unten rechts KachelX + 1 16507 KachelY + 1 16760 -2.35029825 1.37838405 -134.662170 78.975589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37839321-1.37838405) × R
    9.16000000006356e-06 × 6371000     		dl = 58.358360000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37839321-1.37838405) × R
    9.16000000006356e-06 × 6371000     		dr = 58.358360000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35034619--2.35029825) × cos(1.37839321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191218218248212 × 6371000     		do = 58.4029658099034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35034619--2.35029825) × cos(1.37838405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191227209215748 × 6371000     		du = 58.4057118828164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37839321)-sin(1.37838405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191218218248212-0.191227209215748)×R²
    abs(-2.35029825--2.35034619)×8.99096753625983e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.99096753625983e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.99096753625983e-06×40589641000000     		ar = 3408.38143215558m²