Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16504 / 16261
↖ ↑ ↗
← N  1.351193°
E  1.318359°		 ← 1 221.30 m → N  1.351193°
E  1.329346°		 →
↑
1 221.32 m
↓
↑
1 221.32 m
↓
N  1.340210°
E  1.318359°		 ← 1 221.31 m →
1 491 602 m²		 N  1.340210°
E  1.329346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503677368164062 y=0.496261596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503677368164062 × 215)
    floor (0.503677368164062 × 32768)
    floor (16504.5)     		tx = 16504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496261596679688 × 215)
    floor (0.496261596679688 × 32768)
    floor (16261.5)     		ty = 16261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16504 / 16261 ti = "15/16504/16261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16504/16261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16504 ÷ 215
    16504 ÷ 32768     		x = 0.503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16261 ÷ 215
    16261 ÷ 32768     		y = 0.496246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503662109375 × 2 - 1) × π
    0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496246337890625 × 2 - 1) × π
    0.00750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0235849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02300971} λ = 0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0235849546130676))-π/2
    2×atan(1.02386527913059)-π/2
    2×0.797189547594907-π/2
    1.59437909518981-1.57079632675     		φ = 0.02358277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02358277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.351193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16504 KachelY 16261 0.02300971 0.02358277 1.318359 1.351193
    Oben rechts KachelX + 1 16505 KachelY 16261 0.02320146 0.02358277 1.329346 1.351193
    Unten links KachelX 16504 KachelY + 1 16262 0.02300971 0.02339107 1.318359 1.340210
    Unten rechts KachelX + 1 16505 KachelY + 1 16262 0.02320146 0.02339107 1.329346 1.340210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02358277-0.02339107) × R
    0.0001917 × 6371000     		dl = 1221.3207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02358277-0.02339107) × R
    0.0001917 × 6371000     		dr = 1221.3207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02300971-0.02320146) × cos(0.02358277) × R
    0.000191750000000001 × 0.999721939366805 × 6371000     		do = 1221.29956021662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02300971-0.02320146) × cos(0.02339107) × R
    0.000191750000000001 × 0.999726441395423 × 6371000     		du = 1221.30506007148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02358277)-sin(0.02339107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999721939366805-0.999726441395423)×R²
    abs(0.02320146-0.02300971)×4.50202861745908e-06×R²
    0.000191750000000001×4.50202861745908e-06×6371000²
    0.000191750000000001×4.50202861745908e-06×40589641000000     		ar = 1491601.79690463m²