Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16493 / 16559
↖ ↑ ↗
← S  1.922246°
E  1.197510°		 ← 1 220.95 m → S  1.922246°
E  1.208496°		 →
↑
1 220.94 m
↓
↑
1 220.94 m
↓
S  1.933227°
E  1.197510°		 ← 1 220.94 m →
1 490 702 m²		 S  1.933227°
E  1.208496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503341674804688 y=0.505355834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503341674804688 × 215)
    floor (0.503341674804688 × 32768)
    floor (16493.5)     		tx = 16493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505355834960938 × 215)
    floor (0.505355834960938 × 32768)
    floor (16559.5)     		ty = 16559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16493 / 16559 ti = "15/16493/16559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16493/16559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16493 ÷ 215
    16493 ÷ 32768     		x = 0.503326416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16559 ÷ 215
    16559 ÷ 32768     		y = 0.505340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503326416015625 × 2 - 1) × π
    0.00665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02090049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.01068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0335558297340393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02090049} λ = 0.02090049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0335558297340393))-π/2
    2×atan(0.967000922320015)-π/2
    2×0.768623396282147-π/2
    1.53724679256429-1.57079632675     		φ = -0.03354953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02090049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.197510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03354953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.922246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16493 KachelY 16559 0.02090049 -0.03354953 1.197510 -1.922246
    Oben rechts KachelX + 1 16494 KachelY 16559 0.02109224 -0.03354953 1.208496 -1.922246
    Unten links KachelX 16493 KachelY + 1 16560 0.02090049 -0.03374117 1.197510 -1.933227
    Unten rechts KachelX + 1 16494 KachelY + 1 16560 0.02109224 -0.03374117 1.208496 -1.933227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03354953--0.03374117) × R
    0.00019164 × 6371000     		dl = 1220.93844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03354953--0.03374117) × R
    0.00019164 × 6371000     		dr = 1220.93844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02090049-0.02109224) × cos(-0.03354953) × R
    0.000191750000000001 × 0.999437267304325 × 6371000     		do = 1220.95179365171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02090049-0.02109224) × cos(-0.03374117) × R
    0.000191750000000001 × 0.999430820725887 × 6371000     		du = 1220.94391825846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03354953)-sin(-0.03374117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999437267304325-0.999430820725887)×R²
    abs(0.02109224-0.02090049)×6.44657843873464e-06×R²
    0.000191750000000001×6.44657843873464e-06×6371000²
    0.000191750000000001×6.44657843873464e-06×40589641000000     		ar = 1490702.17513347m²