Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16492 / 8012
↖ ↑ ↗
← N 67.289015°
E  1.186523°		 ← 471.65 m → N 67.289015°
E  1.197510°		 →
↑
471.71 m
↓
↑
471.71 m
↓
N 67.284773°
E  1.186523°		 ← 471.74 m →
222 503 m²		 N 67.284773°
E  1.197510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503311157226562 y=0.244522094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503311157226562 × 215)
    floor (0.503311157226562 × 32768)
    floor (16492.5)     		tx = 16492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244522094726562 × 215)
    floor (0.244522094726562 × 32768)
    floor (8012.5)     		ty = 8012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16492 / 8012 ti = "15/16492/8012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16492/8012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16492 ÷ 215
    16492 ÷ 32768     		x = 0.5032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8012 ÷ 215
    8012 ÷ 32768     		y = 0.2445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5032958984375 × 2 - 1) × π
    0.006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02070874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2445068359375 × 2 - 1) × π
    0.510986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.60531089447644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02070874} λ = 0.02070874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60531089447644))-π/2
    2×atan(4.97940743238805)-π/2
    2×1.37260559631824-π/2
    2.74521119263648-1.57079632675     		φ = 1.17441487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02070874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.186523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17441487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.289015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16492 KachelY 8012 0.02070874 1.17441487 1.186523 67.289015
    Oben rechts KachelX + 1 16493 KachelY 8012 0.02090049 1.17441487 1.197510 67.289015
    Unten links KachelX 16492 KachelY + 1 8013 0.02070874 1.17434083 1.186523 67.284773
    Unten rechts KachelX + 1 16493 KachelY + 1 8013 0.02090049 1.17434083 1.197510 67.284773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17441487-1.17434083) × R
    7.40400000001085e-05 × 6371000     		dl = 471.708840000691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17441487-1.17434083) × R
    7.40400000001085e-05 × 6371000     		dr = 471.708840000691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02070874-0.02090049) × cos(1.17441487) × R
    0.000191750000000001 × 0.386082901089869 × 6371000     		do = 471.654025725254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02070874-0.02090049) × cos(1.17434083) × R
    0.000191750000000001 × 0.386151199272637 × 6371000     		du = 471.737461466027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17441487)-sin(1.17434083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386082901089869-0.386151199272637)×R²
    abs(0.02090049-0.02070874)×6.82981827685447e-05×R²
    0.000191750000000001×6.82981827685447e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.82981827685447e-05×40589641000000     		ar = 222503.05214702m²